Олимпиада, старшая группа (23.01.2013) VI региональный турнир по мат. боям, Томск

1. Можно ли представить число 2013 в виде разности квадратов целых чисел?

Ответ: да, например 2013 = .

2. Дан прямоугольник KMNP. Найдите множество точек X, для которых KХ + MХ = NХ + PX. Ответ обоснуйте.

Ответ: прямая, проходящая через середины сторон MN и KP.

Решение. Используем метод «от противного». Предположим, что точка X не лежит на этой прямой, например что точки K и X лежат по одну сторону от нее. Тогда KХ < PX и MХ < NХ, а значит, KХ + MХ < NХ + PX. Полученное противоречие доказывает утверждение.

Комментарий. Верный ответ без доказательства — 1–2 балла.

3. 16 учеников из трех классов 11A, 11Б, 11В решили посадить деревья на школьной территории. Каждый ученик из 11А класса посадил по 13 саженцев, каждый ученик из 11Б класса — по 5 саженцев, а каждый ученик из 11В класса — по 4 саженца. Всего было посажено 113 саженцев. Сколько школьников из каждого класса приняли участие в работе?

Ответ: 5, 4 и 7.

Решение. Обозначим количество учеников 11а, 11б и 11в классов соответственно x, y, z, и запишем условия:

13 x + 5 y + 4 z = 113; x + y + z =16.

Исключим одну переменную:

z = 16 – x – y; 13 x + 5 y +4(16 – x – y) = 113; 9 x + y = 49.

49 – y должно делиться на 9, при этом y меньше 16. Этим условиям удовлетворяют значения 49 – y, равные 45 или 36. При 49 – y = 36 получаем: y = 13, x = 4 (что недопустимо, так как в сумме составляет больше 16).

При 49 – y = 45 получаем: y = 4, x = 5, z = 7.

Комментарий. Решение найдено подбором и доказано, что нет других решений — 5 баллов; найден ответ, но не обосновано, что нет других решений — 3 балла.

4. На плоскости провели 5 параллельных прямых и пересекли ихчетырьмя параллельными прямыми. В результате чего образовалась сетка. Сколько параллелограммов можно выделить в этой сетке?

Ответ: 60.

Решение. Каждый параллелограмм определяется парой прямых из первого набора и парой прямых из второго набора. Число пар, которые можно образовать из набора, содержащего n прямых, равно
n (n – 1)/2, поэтому число параллелограммов равно (можно и просто найти количество параллелограммов каждого размера и суммировать).

Комментарий. Любой верный подход к определению числа параллелограммов уже можно оценить 1 баллом и более, даже если ответ не получен. За арифметические ошибки снижать на 1 балл.

5. На окружности поставили 8 красных, 6 желтых и 4 зеленых точки. На каждой дуге между соседними красной и желтой точками поставили цифру 1, на каждой дуге между соседними красной и зеленой точками поставили цифру 2, на каждой дуге между соседними желтой и зеленой точками поставили цифру 3. На дугах между одноцветными точками поставили 0. Найдите максимальную возможную сумму поставленных чисел.