Ньютоновские жидкости

Чтобы понять, что такое ламинарное течение, рассмотрим стопку карточек, лежащих на плоской поверхности. Если к торцу верхней карточки (рис. 5.1) приложить силу F и предположить, что из-за трения скорость каждой следующей карточки (сверху вниз) уменьшается на постоянную величину dϑ от ϑ до нуля, то:

F/A = τ =—µ(dϑ/dr), (5.1)

где А — площадь поверхности карточки; r — толщина стопки; dϑ — разность скоростей соседних карточек; dr — расстояние между ними; µ — сопротивление трения относительному переме­щению карточек, или (пользуясь реологическими терминами) вязкость; τ — напряжение сдвига; dϑ/dr — скорость сдвига, или градиент скорости, определяемый наклоном профиля распреде­ления скоростей.

График консистенции ньютоновской жидкости представляет прямую линию, проходящую через начало координат (рис. 5.2). Наклон этой линии определяет вязкость, т. е.

µ = τ/γ, (5.2)

где γ — скорость сдвига. Поскольку µ не зависит от скорости сдвига, вязкость является единственным параметром, опреде­ляющим свойства потока ньютоновской жидкости.

Единицей вязкости в метрической системе является пуаз, со­ответствующий напряжению (в динах на квадратный санти­метр), необходимому для создания разности скоростей 1 см/с между двумя слоями, отстоящими друг от друга на 1 см. Аме­риканская единица вязкости (рейн) аналогична пуазу, но выра­жается в фунтах и футах.

Рис.5.1 Ламинарное течение ньютоновской жидкости

Рис.5.2 График консистенции ньютоновской жидкости

Рисунок 5.3 Схематическое изображение ламинарного течения и профиль скоростей при ламинарном течении ньютоновской жидкости

Ламинарное течение ньютоновской жидкости в круглой трубе можно представить в виде набора концентрических цилиндров (рис. 5.3). Скорость движения цилиндров возрастает от нуля у стенки трубы до максимума у ее оси, образуя параболический профиль скоростей. Скорость сдвига в любой точке по радиусу трубы определяется наклоном профиля в этой точке по отношению к оси трубы. Следует обратить внимание на то, что скорость сдвига максимальна у стенки трубы и равна нулю на ее оси.

Для составления зависимости между давлением и скоростью потока предположим, что жидкость течет по трубе длиной L и радиусом R. Усилие, действующее на торец цилиндра радиуса r, определяется перепадом давления р на концах трубы, умно­женным на площадь поперечного сечения этого цилиндра. Та­ким образом, напряжение сдвига

τ = F/A = πr² p/(2πrL)=rp/(2L) (5.3)

Подставляя τ в уравнение (5.1), получим

rp/(2L) = — µdϑ/dr,

откуда вытекает уравнение Пуазейля для ламинарного течения ньютоновской жидкости в круглых трубах

Q = πR⁴p/(8Lµ), (5.4)

где Q — объемный расход.

Часто бывает удобнее выразить уравнение Пуазейля через среднюю скорость ϑ и диаметр D. Поскольку Q = VπR², уравне­ние (5.4) примет вид

p = 32VµL/D² (5.5)

Для течения в концентрическом кольцевом пространстве с внутренним и наружным диаметрами соответственно D₁ и D₂ уравнение (5.3) можно записать следующим образом:

Выражение (D₂—D₁)/4 называется средним гидравлическим ра­диусом, во многих уравнениях гидравлики его можно подста­вить вместо D/4. В таком случае уравнение Пуазейля приобре­тет вид

p = 32VµL/(D₂-D₁)². (5.6)

Вязкость ньютоновской жидкости измеряется в капиллярном вискозиметре по времени истечения стандартного объема жид­кости. Вязкость можно рассчитать с помощью уравнения (5.4) или определить путем измерения в капиллярном вискозиметре, оттарированном по жидкости известной вязкости, или с исполь­зованием константы вискозиметра, предоставляемой фирмой-из­готовителем. Большое число капилляров различных размеров дает возможность проводить измерения в широком диапазоне вязкостей.