Вариационные ряды

Для изучения закономерностей варьирования значений случайной величины опытные данные подвергают обработке.

Операция, заключающаяся в том, что результаты наблюдений над случайной величиной, т.е. наблюдаемые значения случайной величины, располагают в порядке неубывания, называется ранжированием опытных данных.

После операции ранжирования опытные данные объединяют в группы так, чтобы в каждой отдельной группе значения случайной величины будут одинаковы.

Значение случайной величины, соответствующее отдельной группе сгруппированного ряда наблюдаемых данных, называется вариантом (x_i) (вариантой), а изменение этого значения – варьированием.

Численность отдельной группы сгруппированного ряда наблюдаемых данных называется частотой или весом (m_i) соответствующей варианты.

Отношение частоты данного варианта к общей сумме частот всех вариантов называется частостью или долей этой варианты ():

,

где υ – число вариант. Полагая , где n – объём выборки, имеем:

.

Заметим, что частость – статистическая вероятность появления варианта x_i.

Дискретным вариационным рядом распределения называется ранжированная совокупность вариантов x_i, с соответствующими им частотами m_i или частостями .

Если изучаемая случайная величина является непрерывной, то ранжирование и группировка наблюдаемых значений зачастую не позволяют выделить характерные черты варьирования её значений. Это объясняется тем, что отдельные значения случайной величины могут как угодно мало отличаться друг от друга и поэтому в совокупности наблюдаемых данных одинаковые значения случайной величины могут встречаться редко, а частоты вариантов мало отличаются друг от друга.

Интервальным вариационным рядом называется упорядоченная совокупность интервалов варьирования значений случайной величины с соответствующими частотами или частостями попаданий в каждый из них значений величины.

Рассмотрим алгоритм построения интервального ряда.

1. Для построения интервального ряда необходимо определить величину частичных интервалов, на которые разбивается весь интервал варьирования наблюдаемых значений случайной величины. Считая, что все частичные интервалы имеют одну и ту же длину, для каждого интервала следует установить его верхнюю и нижнюю границы, а затем в соответствии с полученной упорядоченной совокупностью частичных интервалов сгруппировать результаты наблюдений. Длину частичного интервала h следует выбрать так, чтобы построенный ряд не был громоздким и в то же время позволил выявить характерные черты изменения значений случайной величины.

2. Найдём размах варьирования ряда R:

R = x_наиб – x_наим

Выберем число интервалов υ (обычно от 7 до 11).

3. Для более точного определения величины частичного интервала можно воспользоваться формулой Стерджеса:

.

Если h – дробное, то за длину частичного интервала следует брать ближайшее целое число, либо ближайшую простую дробь.

4. За начало первого интервала следует брать величину: x_нач = x_наим – 0,5h.

5. Конец последнего интервала (x_кон) должен удовлетворить условию: x_кон – h ≤ x_наиб<x_кон.

6. Промежуточные интервалы получают, прибавляя к концу предыдущего интервала длину частичного интервала h.

7. Определим, сколько значений признака попало в каждый конкретный интервал. При этом в интервал включают значения случайной величины, большие или равные нижней границе и меньшие верхней границы. Иногда интервальный вариационный ряд для простоты исследования условно заменяют дискретным. В этом случае серединное значение i- го интервала принимают за вариант x_i, а соответствующую интервальную частоту m_i – за частоту этой варианты.