Общий алгоритм решения

Справедливо следующее утверждение: если все частные функции сепарабельной функции в точке , являются выпуклыми, то и сама функция является выпуклой в точке . Оно следует из определения определителя матрицы Гессе. Обратное утверждение неверно.

Частная функция в точке является выпуклой, если её вторая производная в этой точке неотрицательна.

Пусть целевая функция и функция – ограничение являются сепарабельными [ ] по своим переменным, т.е. представляются в следующем виде: = , = - , . Тогда система нелинейных уравнений (1-2) п. 1 в этом случае приобретает вид

- = 0, , (1)

= , . (2)

Замечание 2.1. В (1) знак – поставлен перед для случая, когда ) = +. В противном случае надо поменять знак на противоположный.

Алгоритм нахождения решения в области сводится к следующему:

1) из (1) надо найти формулу, выражающую через , т.е. = (), имеем / = .Требования к функции / : она должна быть монотонной, чтобы существовала обратная функция к ней, тогда () как раз и будет такой обратной функцией;

2) подставить выражение = () в (2), в результате получаем уравнение

= , , (3)

3) из уравнения (3) находим ,

4) подставляем найденное выражение для в формулу = (), тем самым, получаем оптимальную точку ),

5) проверяем условия , и , где - малая величина,

6) если условия 5) выполняются, то точка ) дает минимум целевой функции в области , т.е. будет являться решением поставленной оптимальной задачи.

Теорема 3. Пусть функция факторизуема в виде и для / справедливопредставление / = = , где функция не зависит от , и обратная функция = факторизуема в виде , то оптимальное решение имеет следующий вид

= ( ), (4)

где - обратная функция от функции .

Доказательство. Из равенства = находим , тогда из факторизации следует, что представляется в виде . Подставляя это выражение в (2), получаем

= ) = = , (5)

откуда имеем = ( или

( ), (6)

где - обратная функция от функции . Подставляя это выражение в формулу для , приходим к (4). Теорема 3 доказана.

Рассмотрим последовательно случаи, когда возможно получение аналитического решения оптимальных задач с использованием метода неопределенного множителя Лагранжа.