2015-06-30
434
Если в качестве базисной взять систему степенных функций, то есть 
, то получаем задачу полиномиальной интерполяции:
(2.3.1)
Теорема 2.1. Существует единственный интерполяционный многочлен степени 
, удовлетворяющий условиям (2.3.1).
Вкачестве искомогомногочлена возьмем многочлен степени вида
(2.3.2)
Таким образом, система функций, по которой строится интерполяционный многочлен, есть
Для нахождения 
надо
найти набор коэффициентов
. Не будем сос-
тавлять и решать систему
линейных уравнений вида
(2.2.1), найдем коэффициен-
... 
ты иным способом.
Пусть 
, с учетом 
получим
Аналогично, полагая 
и учитывая, что 
будем иметь
Если 
, то 
Тогда сам многочлен будет иметь вид
(2.3.3)
Этаформула называется интерполяционной формулой Лагранжа. Приведем ее в сокращенной записи:
(2.3.4)
Очевидно, 
представляет собой многочлен степени , удовлетворяющий условию
Таким образом, степень многочлена 
равна , при 
в формуле (2.3.4) обращаются в нуль все слагаемые, кроме слагаемого с номером 
, равного 
.
Выпишем отдельно многочлены Лагранжа первой и второй степени, ибо именно они чаще всего используются на практике.
(2.3.5)
Пример. Написать интерполяционный многочлен Лагранжа для функции , значения которой заданы таблицей
| ||||
| 0.1 | 0.3 | 0.5 | |
| -0.5 | 0.2 | 1.0 |
В данном случае 
, получаем при интерполяции кубическую параболу. Вычислим вначале :
, но его значение не понадобится, так как 
. Не будем его вычислять.
Тогда искомый интерполяционный многочлен Лагранжа третьей степени будет выглядеть так 
