Чувствительность интерполяционного многочлена к погрешностям входных данных

Помимо погрешности от приближенной замены на возникает еще дополнительная погрешность, связанная с тем, что значения интерполируемой функции тоже задаются с погрешностью. Пусть заданные в узлах значения содержат погрешности . Тогда содержат погрешность - Лагранжев базис.

Пусть известно, что верхняя граница погрешности равна , то есть Тогда для верхней границы соответствующей погрешности многочлена справедлива оценка

***. (3.4.1)

В задаче интерполирования константа Лебега играет роль абсолютного числа обусловленности, то есть в самом неблагоприятном случае погрешность входных данных при интерполяции может возрасти в раз. Величина зависит от расположения узлов интерполяции. Например, если в качестве узлов интерполяции взяты нули многочленов Чебышева, то

. (3.4.2)

Если же узлы равноотстоящие, то и уже при обусловленность задачи резко ухудшается. Из этого следует важный практический вывод: в вычисленияхне следует использовать интерполяционные многочлены высокой степени с равноотстоящими узлами.