2015-06-30
828
Из определения первой производной 
естественно использовать для ее вычисления две простейшие приближенные формулы
, (4.1.1)
, (4.1.2)
соответствующие выбору фиксированных значений 
и 
. Здесь 
- малый пара-
метр - шаг. Формулы (4.1.1) и (4.1.2) называют правой и левой разностными производными. Оценим их погрешности:
и 
, воспользовавшись формулой Тейлора:
(4.1.3)
Подставив в 
выражение (4.1.3), получим
.
Аналогично, 
Таким образом,
(4.1.4)
Итак, формулы (4.1.1) и (4.1.2) имеют первый порядок точности по 
. Геометрическая интерпретация этих формул показана на предыдущем рисунке. Естественно предположить, что лучшим по сравнению с (4.1.1) и (4.1.2) приближением 
является тангенс угла наклона 
секущей к графику 
, проведенной через точки 
и 
. Соответствующая формула приближения имеет вид
(4.1.5)
, полученную по формуле (4.1.5), называют центральной разностной производной. Оценим опять погрешность формулы (4.1.5). Для этого подставим в выражение для погрешности 
соответствующие разложения в ряд Тейлора:
Получим
Следовательно, справедлива оценка погрешности
(4.1.6)
Таким образом, центральная разностная производная аппроксимирует производную со вторым порядком точности относительно параметра .
Для вычисления первой производной можно получить и еще более сложные и точные формулы. Однако в таких формулах с ростом порядка точности возрастает и число используемых значений функции. Например,
(4.1.7)
