Формулы численного дифференцирования, основанные на интерполяции алгебраическими многочленами

Предположим, что в окрестности точки функция аппроксимируется некоторой другой функцией , причем в точке легко вычисляется. Естественно в такой ситуации попытаться воспользоваться приближенной формулой

Пусть - интерполяционный многочлен степени с узлами интерполяции . В этом случае Поскольку

то для аппроксимации производных в общем случае при наличии неравномерной сетки узлов можно воспользоваться связью производных и разделенных разностей:

. (4.3.1)

Формула (4.3.1) имеет по крайней мере первый порядок точности. В частности при - первая разностная производная; при - вторая разностная производная.

Если шаг сетки узлов постоянен, то можно вместо разделенных разностей использовать конечные:

(4.3.2)