Оценка погрешностей простейших квадратурных формул

Теорема 4.1. Пусть функция дважды непрерывно дифференцируема на . Тогда для формул (4.5.3) и (4.5.4) справедливы следующие оценки погрешности:

(4.6.1)

(4.6.2)

Доказательство

Получим, например, формулу (4.6.1). По определению погрешности

С другой стороны, по формуле Тейлора

Тогда

Но следовательно, Аналогично выводится и формула (4.6.2).

Теорема 4.2. Пусть функция имеет на непрерывную четвертую производную. Тогда для формулы (4.5.6) справедлива следующая оценка:

(4.6.3)

Пример. Вычислить интеграл по формулам прямоугольников, трапеций и парабол и оценить погрешность вычислений.

			числитель		знаменат.
	0.50	1.100	0.453596	1.050	3.167423	0.143207
1/2	0.55	1.121	0.434782	1.125	3.202268	0.135773
	0.60	1.144	0.413957	1.200	3.232039	0.128079
3/2	0.65	1.169	0.391072	1.275	3.256570	0.120088
	0.70	1.196	0.366083	1.350	3.275723	0.111756
5/2	0.75	1.225	0.338946	1.425	3.289391	0.103042
	0.80	1.256	0.309623	1.500	3.297495	0.093896
7/2	0.85	1.272	0.294370	1.575	3.299991	0.089203
	0.90	1.324	0.244299	1.650	3.296865	0.074100
9/2	0.95	1.361	0.208261	1.725	3.288134	0.063337
	1.00	1.400	0.169967	1.800	3.273848	0.051917

0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

Оценим теперь погрешность вычислений только по теореме 4.1:

Вторая производная уже получается настолько громоздкой, что оценка погрешности становится затруднительной. Тем не менее можно провести грубую оценку сверху Итак,