double arrow

Поиск оснований и открытие антиномий теории множеств


Программа концептуальной ригоризации основных математических понятий, как мы уже знаем, наметилась еще в прошлом веке. Вейерштрасс и его школа подготовили так называемую «арифметизацию» анализа, т. е. редукцию математики как теории «действительных чисел» к арифметическим понятиям математики как теории целых позитивных (натуральных и рациональных) чисел. Еще раньше геометрия была приведена к анализу (посредством операций аналитической геометрии), а арифметика стала «естественной базой» всего здания математики. Редукцию математики к арифметике завершил Пеано в 1899 г. Система Пеано состояла из пяти аксиом, составленных с помощью примитивных терминов: число, ноль, непосредственно выводимый.

Аксиомы таковы: 1) ноль — это число; 2) из числа непосредственно следует число; 3) ноль непосредственно не следует ни из какого числа; 4) из различных чисел следуют разные непосредственно выводимые числа; 5) любое свойство, которым обладает ноль, принадлежит всем числам, если из его справедливости для одного числа следует справедливость этого свойства для числа, непосредственно следующего за ним (это принцип математической индукции).




Одновременно с Пеано Фреге и Кантор попытались редуцировать арифметику и понятие натурального числа к логическому понятию класса, тем более что логика классов кажется более адекватной для поиска оснований математики. Как можно дать определение числа в терминах класса, показывает следующий пример. Даны два класса А и В, и каждому элементу класса А соответствует элемент класса В, и наоборот. Это значит, что оба класса имеют равную мощность, или кардинальное число. Используя чисто механические операции,

646 Развитие наук в XX веке

РАЗВИТИЕ ФИЗИКИ В XX ВЕКЕ







Сейчас читают про: