Группы и их свойства. Примеры

Определение 1. 2. 1. Моноид < А, ∙> называется группой, если каждый элемент из А симметризуем.

Это наиболее распространённое и естественное современное определение группы. Выпишем данное определение группы более подробно:

Определение 1. 2. 2. Группой называется множество А с заданной на нем бинарной алгебраической операцией, удовлетворяющей следующим трём аксиомам (используем мультипликативную форму записи):

А₁. ( а, b, с А) (а ∙ b)∙ с = а ∙(b ∙ с) (ассоциативность),

А₂. ( 1 A)( а А) а ∙ 1 = 1 ∙ а = а (наличие единицы),

A₃. ( а А) ( а' А) а ∙ а' = а' ∙ а = 1 (обратимость элементов), где 1- единица из А; её существование обеспечивается аксиомой 2 и, как мы уже знаем, она единственна.

Замечание. Для доказательства того, что множество А с операцией * является группой, нужно:

1) показать, что операция * является бинарной операцией на множестве А, т.е. выполнимой и однозначной операцией ранга 2 (в операции участвуют 2 элемента из А: (а, b) а * b);

2) проверить выполнимость аксиом A ₁, А ₂, А ₃.

Если первое из этих условий не выполняется, то нет смысла в проверке аксиом.

Примеры групп:

1. Покажем, что < Z, + > - группа:

операция “+” является выполнимой на Z, так как ( а, b Z) а + b Z; однозначной на Z, так как результат (а + b) определяется однозначно; ранг операции равен 2, так как в операции используется два элемента (a, b) а+ b (следовательно, < Z, + > - группоид);

А₁ выполняется, так как сложение целых чисел ассоциативно:

( а, b, с Z) (а+ b) + с = а + (b+ с), следовательно, < Z, + > - полугруппа;

А₂ выполняется: роль нейтрального элемента будет играть число 0, так как ( а Z) а + 0 = 0 + а = а, следовательно, < Z, +> – моноид;

А₃ выполняется: для всякого целого числа существует противоположное число ( а Z) ( – а Z) а + (– а) = (– а) + а = 0, следовательно, < Z, + > – группа.

2. < А, + >, где А = п× Z, или А = Q, или А = R, или А = С; п - неотрицательное целое число.

3. < А, × >, где А = Q *, или А = R* или С*, или А= Q⁺, или А= R⁺;

Q* (Q ⁺) - множество всех ненулевых (положительных) рациональных чисел, R* (R⁺) - множество всех ненулевых (положительных) действительных чисел, С* - множество всех ненулевых комплексных чисел.

4. < А, × >, где А = {1}, или А = {1, – 1}, или А= {1, –1, i, – i }.

5. Множество всех матриц одинаковой размерности с действительными элементами относительно операции сложения матриц.

6. Множество всех невырожденных квадратных матриц одинакового
порядка с действительными элементами относительно операции умножения матриц.

7. Множество всех биекций, т. е. взаимно однозначных отображений некоторого множества М на М с операцией композиции отображений.

8. Множество всех симметрии (самосовмещений) геометрической фигуры ни плоскости или в пространстве с операцией последовательного выполнения самосовмещений.

Рассмотрим подробнее группу G= { е, а, а ², b, а × b, а ² × b } симметрий правильного треугольника, где а – поворот на 120° вокруг центра правильного треугольника против часовой стрелки, b - осевая симметрия относительно вертикальной оси, проходящей через высоту треугольника (Рис. 1).

Рис. 1

Тогда а ³ = b ² = е (е - тождественное самосовмещение треугольника).

b × а = а × b (где b × а - композиция отображений; последовательно выполняется вначале отображение а, затем – b).

9. Множество С [ х ] всех многочленов от одного неизвестного с комплексными коэффициентами относительно операции сложения многочленов.

10. Множество всех непрерывных числовых функций относительно операции поточечного сложения функций.

11. Множество всех непрерывных, не обращающихся в нуль числовых функций относительно операции поточечного умножения функций.

12. Для n N множество Z_n = {0,1, 2,..., n - 1} с операцией а b = с, где с - остаток отделения а + b на с.

Как показывают примеры, группы бывают как конечные, так и бесконечные.

Определение 1. 2. 3. Число элементов конечной группы А называется её порядком и обозначается | А |.

Все группы можно разделить также на коммутативные или абелевы (в честь норвежского математика Хенрика Абеля) и некоммутативные.

Определение 1. 2. 4. Группа < А, ∙ > называется абелевой (коммутативной), если ( а, b А) а × b = b × а.

Перечислим ряд важнейших исходных свойств групп, непосредственно вытекающих из аксиом.

Свойства групп

Для произвольной группы < А, × > имеем:

(1) в А существует единственная единица 1.

(2) для каждого а А существует однозначно определенный обратный элемент а А.

(3) в А однозначно разрешимы уравнения а × х = b и у × а = b для любых двух элементов а и b из А, именно, х = а^- ¹ × b и y = b × а ^-1.

(4) справедливы законы сокращения: а × b = а × с влечёт b = с и а× с = b× с влечёт а = b для любых а, b, с из А.

(5) в А имеет место обобщённый закон ассоциативности, а в случае абелевой группы - обобщённый закон коммутативности.

(6) (а ^-1)^-1 = а для всех а А.

(7) (а ₁ × а ₂ × …× а _n)^-1 = а_n^- ¹ × … × а ₁^-1 для любого конечного числа п элементов а ₁,..., а_n группы А. В частности, (a ⁿ) ^{- 1} = (a ^{- 1})ⁿ.

(8) в А можно определить степень а произвольного элемента а А с произвольным целым показателем k:

(9) в группе А можно определить операции деления: правое (а / b = а × b^- ¹) и левое (а \ b = b^- ¹ × а), при этом элементы а × b ^-1 и b ^-1 × а называют правым и левым частным элементов а и b соответственно.