Метод замены переменного

Пусть требуется найти неопределенный интеграл от непрерывной функции

Рассмотрим некоторую функцию , которая имеет непрерывную производную и обратную функцию . (Например: монотонна). Тогда справедлива формула:

. (3.1.1)

В некоторых ситуациях удается подобрать функцию так, что интеграл в правой части (3.1.1) оказывается проще, чем в левой части. Такой прием называется методом замены переменной. На практике часто формулу используют в обратную сторону:

. (3.1.2)

Другими словами, если подынтегральное выражение может быть записано в форме левой части (3.1.2), то с помощью подстановки получаем более простой интеграл (3.1.1).

Пример 8 .

Решение.

.

Пример 9 .

На практике часто используется следующая простая формула:

,

где - первообразная функции .

Пример 10. .

Пример 11. .

Пример 12. .