2015-06-24
705
Шаг 1. Задать х 00, ε1>0, ε2>0; предельное число М циклов счета, кратное n, где n — размерность вектора х. Найти градиент ∇ f (x).
Шаг 2. Задать номер цикла j = 0.
Шаг 3. Проверить условие j > М:
а) если j ≥ М, то расчет окончен и х *= х jk;
б) если j < М, то перейти к шагу 4.
Шаг 4. Задать k = 0.
Шаг 5. Проверить условие k ≤ п – 1:
а) если k ≤ п – 1, то перейти к шагу 6;
б) если k = п, то положить j = j + 1 и перейти к шагу 3.
Шаг 6. Вычислить ∇ f (х jk).
Шаг 7. Проверить выполнение условия || ∇ f (xjk)|| < ε1:
а) если условие выполнено, то расчет окончен и х *= xjk;
б) если нет, то перейти к шагу 8.
Шаг 8. Вычислить t * k из условия
Шаг 9. Вычислить 
Шаг 10. Проверить выполнение условий
|| xjk +1 – xjk || < ε2, || f (xjk +1) – f (xjk) || < ε2:
а) если оба условия выполнены в двух последовательных циклах с номерами j и j – 1, то расчет окончен, найдена точка х *= xjk +1;
б) если не выполняется хотя бы одно условие, положить k = k +1 и перейти к шагу 5.
Геометрическая интерпретация метода для п = 2 приведена на рис. 6.6.
Рис. 6.6
Пример 6.4. Найти локальный минимум функции
|
|
|
f (х) = 2 х 12+ х 1 х 2+ х 22.
I. Определение точки xjk, в которой выполнен хотя бы один из критериев окончания расчетов.
1. Зададим х 00, ε1, ε2, M: х 00=(0,5;1) T, ε1= 0,1; ε2= 0,15; М = 10. Найдем градиент функции в произвольной точке ∇ f (х) = (4 x 1+ x 2; x 1+ 2х2) T.
2. Зададим j = 0.
3. Проверим выполнение условия j ≥ M: j = 0 < 10 = М.
4. Зададим k = 0.
5. Проверим выполнение условия к ≤ п – 1: k = 0 < 1 = п – 1.
6. Вычислим ∇ f (х 00): ∇ f (х 00) = (3;2,5) Т.
7. Проверим условие || ∇ f (х 00)|| < ε1,: || ∇ f (х 00)|| = 3,9 > 0,1.
8. Определим величину шага 
из условия
Воспользуемся формулой (6.6) при k = 0, j = 0: 
Поскольку 
, то
или 
Подставляя полученные выражения в f (х), имеем φ (t 0) = 2(0,5 – 3 t 0)2+ (0,5 – 3 t 0) · 1 +1.
Из необходимого условия экстремума 
или 36 t 0 – 9 = 0 находим 
Так как 
то найденное значение шага обеспечивает минимум функции φ (t 0) по t 0.
