Алгоритм. Шаг 1. Задать x 0, ε1> 0, ε2> 0, M — предельное число итераций

18 19 20 21 22 23 24

Шаг 1. Задать x 0, ε1> 0, ε2> 0, M — предельное число итераций. Найти ∇ f (x).

Шаг 2. Положить k = 0.

Шаг 3. Вычислить ∇ f (xk).

Шаг 4. Проверить выполнение критерия окончания || ∇ f (xk) || < ε1:

а) если критерий выполняется, х *= х k, расчет окончен;

б) если нет, то перейти к шагу 5.

Шаг 5. Проверить условие k ≥ М:

а) если неравенство выполняется, то расчет окончен и х *= х k

Шаг 6. Определить d 0= – ∇ f (x 0).

Шаг 7. Определить

Шаг 8. Определить

Шаг 9. Найти из условия

Шаг 10. Вычислить

Шаг 11. Проверить выполнение условий

|| xk +1 – xk || < ε2, | f (xk +1) – f (xk) | < ε2:

а) в случае выполнения обоих условий в двух последовательных итерациях с номерами к и к - 1 расчет окончен, найдена точка х *= х k + 1;

б) если не выполняется хотя бы одно из условий, полагаем k = k + 1 и переходим к шагу 3.

Геометрическая интерпретация метода для n = 2 изображена на рис. 6.7.

Рис. 6.7

Пример 6.5. Найти локальный минимум функции f (х) = 2 х 12 + х 1 х 2 + х 22.

I. Определение точки х k, в которой выполнен по крайней мере один из критериев окончания расчетов.

1. Зададим х 0, ε1, ε2, М: х 0= (0,5; 1) T, ε1= 0,1; ε2= 0,15; М = 10. Найдем градиент функции в произвольной точке ∇ f (x) = (4 x 1+ х 2; x 1+ 2 х 2) T.

2. Положим k = 0.

30. Вычислим ∇ f (x 0): ∇ f (x 0) = (3;2,5) Т.

40. Проверим условие || ∇ f (x 0)|| < ε1: || ∇ f (x 0)|| = 3,9 > 0,1.

50. Проверим условие k ≥ М: k = 0 < 10 = M.

6°. Определим d 0= – ∇ f (x 0): d 0= –(3; 2,5) T.

90. Определим из условия .

100. Вычислим

110. Проверим условия || x 1– x 0|| < ε2, | f (x 1) – f (x 0)| < ε2:

|| x 1– x 0|| = 0,937 > 0,15; | f (x 1) – f (x 0)| = |0,17 – 2| = 1,83 > 0,15.

Полагаем k = 1, переходим к шагу 3.

31. Вычислим ∇ f (x 1): ∇ f (x 1) = (–0,48;0,58) T.

41. Проверим условие || ∇ f (x 1)|| < ε1: || ∇ f (x 1)|| = 0,752 > 0,1.

51. Проверим условие k ≥ М: k = 1 < 10 = М.

71. Определим

81. Определим d l= – ∇ f (x 0)+ β0 d 0:

d 1= –(–0,48; 0,58) T – 0,0373 (3;2,5) T = (0,368; –0,673) T.

91. Определим из условия Воспользуемся формулой

Подставляя полученное выражение в f (х), имеем

Применяя необходимое условие безусловного экстремума

находим Поскольку найденное значение шага обеспечивает минимум функции φ (t 1) по t 1.

10 l. Вычислим

111. Проверим условия || x 2– x 1|| < ε2, | f (x 2) – f (x 1)| < ε2:

|| x 2– x 1|| = 0,456 > 0,15; | f (x 2) – f (x 1)| = 0,17 > 0,15.

Полагаем k = 2 и переходим к шагу 3.

32. Вычислим ∇ f (x 2): ∇ f (x 2) = (0,003; 0,006) T.

42. Проверим условие || ∇ f (x 2)|| < ε1: || ∇ f (x 2)|| = 0,0067 < 0,1. Расчет окончен. Найдена точка х 2= (0,001;0) T; f (x 2) = 2 · 10–6. На рис. 6.8 полученные точки соединены пунктирной линией.

II. Анализ точки х 2.

Функция f (х) = 2 х 12+ х 1 х 2+ х 22есть квадратичная функция двух переменных, имеющая положительно определенную матрицу вторых производных Это позволяет сделать вывод о том, что функция f (х) строго выпукла, следовательно, имеет единственный минимум, приближение которого х 2= (0,001;0) T найдено за две итерации.