Геометрическая интерпретация двойного интеграла

Объем цилиндрического тела, ограниченного сверху непрерывной поверхностью , снизу плоскостью и сбоку цилиндрической поверхностью, с образующей параллельной оси Oz вырезающей на плоскости xOy область D, вычисляется по формуле:

В частности, если , объем цилиндрического тела численно равен площади области D:

Пример 1. Вычислить где D–треугольник с вершинами O (0;0); A (1;1); B (2; 0).

Рис.5

Решение. При выборе порядка интегрирования в этом примере, заметим, что подынтегральная функция легко интегрируется по любой переменной, но верхняя граница области (ломанная OAB) не описывается одной функцией, в то время как левая граница OAи правая ABописываются уравнениями прямых: Выбираем (2) способ:

Пример 2.

Вычислить область D – прямоугольник, ограниченный прямыми

Решение.Здесь порядок интегрирования диктует подынтегральная функция, которая легче интегрируется по x, значит, внутренний интеграл будет по x:

Пример 3. Нарисовать тело, объем которого описывается интегралом . Объем вычислить.

Решение. Основание тела, область D, описывается неравенствами , сверху тело ограничено поверхностью . Делаем чертежи. Область D: и – половины парабол, – плоскость, параллельная оси Oy, на плоскости хOy () оставляет след . Тело, объем которого V, изображен на рисунке: