Дифференциальное уравнение теплопроводности

. (7)

Уравнение (7) определяет распределение температур в любой точке тела, через которое теплота передается теплопроводностью, и называется дифференциальным уравнением теплопроводности в неподвижной среде, или уравнением Фурье.

Коэффициент пропорциональности в уравнении (7) называется коэффициентом температуропроводности. Он характеризует теплоинерционные свойства тела: при прочих равных условиях быстрее нагреется или охладится то тело, которое обладает большим коэффициентом температуропроводности, и, следовательно, характеризует скорость изменения температуры в нестандартных тепловых процессах.

Коэффициент температуропроводности имеет следующую единицу измерения:

В случае установившегося процесса передачи теплоты теплопроводностью , т. е. температура не изменяется со временем. Тогда уравнение (7) примет вид

(8)

Однако величина а не может быть равна нулю и, следовательно,

или (9)

Уравнение (9) является дифференциальным уравнением теплопроводности в неподвижной среде при установившемся тепловом режиме.

Уравнения (7) и (9) описывают распределение температур в случае передачи теплоты теплопроводностью в самом общем виде и не учитывают, в частности, геометрические формы тела, через которое проводится теплота. При решении конкретных задач дифференциальные уравнения дополняются краевыми условиями, характеризующими каждую конкретную задачу.

Теплопроводность через плоскую стенку. Рассмотрим наиболее распространенный случай – теплопроводность через плоскую однослойную стенку, длина и ширина которой бесконечно велики по сравнению с ее толщиной δ (рис. 2).

Стенка имеет во всех своих частях одинаковую толщину, температуры поверхностей t и t поддерживаются постоянными, т. е. являются изометрическими, причем t > t . При установившемся процессе количества теплоты, подведенного к стенке и отведенного от нее, равны между собой и не изменяются во времени.

Температура меняется только в направлении, перпендикулярном к плоскости стенки, которое принимаем за ось x. В такой постановке температурное поле одномерное ( t ∕ y = 0, t ∕ z = 0).

Коэффициент λ постоянен для всей стенки. При установившемся (стационарном) тепловом режиме температура в любой точке тела неизменна и не зависит от времени.

При принятых условиях в уравнении (9) первые и вторые производные от t по y и z равны нулю:

; ,

поэтому уравнение теплопроводности можно записать в виде

. (10)

Интегрирование уравнения (10) приводит к функции

, (11)

где C ₁ и C ₂ – константы интегрирования.

При постоянном коэффициенте теплопроводности λ это уравнение прямой линии. Таким образом, закон изменения температуры при прохождении теплоты через плоскую стенку будет линейным.

Константы интегрирования определяют исходя из следующих граничных условий:

при x = 0 величина t = t и из уравнения (11)

при x = δ величина t = t и уравнение (11) принимает вид

или

откуда

Подставив значения констант C и C в уравнение (11), находим

Тогда

Подставив полученное выражение температурного градиента в уравнение теплопроводности (5), определим количество переданной теплоты:

или , (12)

где λ – коэффициент теплопроводности материала стенки, Вт∕(м×К); δ – толщина стенки, м; (t – t ) – разность температур поверхностей стенки, К; F – площадь поверхности стенки, м ; – время, с.