Применение теории матриц к решению функциональных уравнений

Под знаком неизвестной функции могут стоять дробно-линейные выражения вида . Такие дроби полностью определяются заданием матрицы , составленной из коэффициентов a, b, c, d.

Пример 15. Найти функцию f, определенную при

и удовлетворяющую уравнению

(5.1)

Решение. Отыщем подстановку, переводящую выражения, стоящие под знаком неизвестной функции f в уравнении (5.1), друг в друга.

Для этого положим . Отсюда

Кроме того, .

Следовательно, подстановка – искомая. Уравнение (5.1) примет вид

. (5.2)

В уравнении (5.1) Подстановка переводит точки соответственно в точки . Кроме того, из характера подстановки вытекает . Поэтому в уравнении (5.2) . Область допустимых значений х в системе, составленной из уравнений (5.1) и (5.2), является пересечением соответствующих областей каждого из уравнений (5.1) и (5.2), т. е. . Исключая из этой системы , получим

Обозначив , получим . Из условия получаем , а также , что определяется видом подстановки.

Подстановка дает . Итак, функция с областью определения является решением примера 15, что и подтверждается проверкой. Сужение области определения искомой функции удалением точек вызвано методом решения уравнения. Несложные вычисления показывают, что функция , , удовлетворяет исходному уравнению.

В самом деле, полагая в (5.1) , получим .

Значения функции , , в точках и 1 соответственно равны и удовлетворяют приведенному соотношению.

Более того, решение уравнения (5.1) в классе функций таких, что имеет вид

Уравнение (5.1) решено, так как найдена подстановка переводящая дробно-линейные функции и , получим друг в друга. На языке матриц это означает, что найдена матрица такая, что АХ = kB; BX =lA, где

Возникает вопрос, для любых ли дробно-линейных функций существует аналогичная подстановка; другими словами, для любых ли матриц А и В существует матрица X, удовлетворяющая уравнениям

АХ = kВ, (5.3)

ВХ = lА (5.4)

при некоторых k, l, отличных от нуля.

Предполагая, что такая матрица существует, из уравнений (5.3) и (5.4) получим: (lА)X = (lk)В, (ВХ)X = (lk)В,

BX² = (lk)B (5.5)

Предположим, что функции, соответствующие матрицам А и В, отличны от констант. Тогда, как показано выше, для А и В существуют обратные матрицы. Умножим обе части равенства (5.5) слева на В^-¹. Получим

B^-1BX²= B^-1lkB; EX² = (lk)E; X² = mE, где m=lk

Найдем общий вид матрицы такой, что , т.е.

при некотором m ≠ 0. Заметим, что х₁x₄ – х₂х₃ ≠ 0. Из правила умножения и условия равенства матриц имеем:

Вычитая из первого уравнения четвертое, получим т. е. , либо .

Если , то = 0 и = 0, что приводит к матрицам вида или . Если же то придем к матрице

Проверкой убеждаемся, что матрицы Х₂ и Х₃ удовлетворяют уравнению X²=mЕ при некотором m. Матрица Х₃ при х₁ = 0 дает X₁.

Итак, матрицы вида и и только они удовлетворяют уравнению X² = mE, m ≠ 0. Из (5.4) имеем X = lВ^-1А. Поэтому, если матрица В^-1А имеет вид Х₂ или Х₃, то она удовлетворяет каждому из уравнений (5.3), (5.4).

Теперь изложим один из способов решения функционального уравнения вида

(5.6)

где s(x), t(x), р (х) — некоторые данные функции,

Решая матричное уравнение вида А = ВХ, где , , получим X = В^-1А,

Если матрица X имеет вид , то подстановка в (5.6) даст второе уравнение относительно неизвестных

Если полученная система имеет решение, то из нее найдем выражение для . Последнее дает возможность найти f(x). Как обычно, обязательной частью решения является проверка. Случай тривиален, А = х₁В, т. е. выражения, стоящие в (5.6) под знаком f, совпадают.

Пример 16. Найти функцию f, определенную при , удовлетворяющую уравнению

(5.7)

Решение. Решаем матричное уравнение AХ = В, где ; . Для матрицы A обратной является матрица . Тогда . Матрица X имеет вид , поэтому применим к уравнению (5.7) подстановку . Последнюю удобно выполнять с помощью матриц. Правой части уравнения (5.7) соответствует матрица . Применение к ней подстановки равносильно умножению справа на . В результате получим . Таким образом, из уравнения (5.7) находим