П. 6.1. Предельный переход

Идею предельного перехода проиллюстрируем на следующих примерах.

Пример 17. Решить в классе непрерывных функций уравнение

(6.1)

где х R.

Решение. Заменив х на , получим

(6.2)

Используя ту же замену, из уравнения (6.2) последовательно получим

,

,

……………………………………..

Методом математической индукции можно доказать, что

(6.3)

Сложив все уравнения, начиная с (6.2), получим

(6.4)

Так как функция f(х) непрерывна, то при любом фиксированном х

Здесь . Из (6.1) . Тогда

Левая часть равенства (6.4) не зависит от n, поэтому существует ее предел при n → ∞. Переходя к пределу в равенстве (6.4), при n → ∞ имеем

(6.5)

Правая часть (6.5) является суммой трех бесконечно убывающих прогрессий

Итак, , что и подтверждается проверкой.

Пример 18. Функция f: R→R непрерывна в точке 0 и для любого x R выполнено равенство

2f(2x) = f(x)+x.

Найти все такие f.

Решение. Пусть функция f удовлетворяет условию. Тогда

Тривиальная проверка показывает, что функция x/3 действительно является искомой.

Пример 19. Доказать, что уравнение

, (6.6)

не имеет непрерывных решений.

Решение. Допустим, что существует непрерывное решение функционального уравнения (6.6). Подставим в исходное уравнения вместо x выражение

ведь если x ≥ 0, то и

получим:

(6.7)

Теперь сделаем такую же замену

в соотношении (6.7):

(6.8)

Описанную операцию проделаем ещё несколько pаз. На n-ом шаге имеем:

Сложим все получившиеся выражения, начиная с (6.6) (всего будет n выражений), и приведем подобные слагаемые:

(6.9)

Равенство (6.9) верно для любого натурального n. Зафиксируем x, а n устремим к ∞. Ввиду непрерывности f(x) в точке x = 0, находим

(6.10)

где

В левой части (6.10) при конкретном (фиксированном) x стоит некоторая константа, т.е. при данном x ряд в правой части (6.10) сходится к этой константе. Мы же покажем, что этот ряд расходится для любого значения x > 0, таким образом, придём к противоречию.

Для любого натурального k и x > 0 верно неравенство

так что

Гармонический ряд

неограниченно возрастает при увеличении n (известный факт), следовательно,

расходится к ∞. Что и требовалось доказать.

Пример 20. Найти f(x), ограниченную на любом конечном интервале, удовлетворяющую функциональному уравнению:

Решение. x = 0 f(0) = 0;

…………………………………………

переходя к lim при x → ∞ используя непрерывность f(x) и f(0) = 0 получаем, что

Пример 21. Решить функциональное уравнение

(6.11)

в классе непрерывных функций.

Решение. Выполнив замену , получим

(6.12)

Складывая (6.11) с уравнением (6.12), умноженным на , получим

Это уравнение решается аналогично уравнению (6.1). Найдем подстановку, переводящую в . Для этого положим . Отсюда . Выполнив n раз подстановку , получим систему уравнений, из которой находим