П. 6.2. Дифференцирование

В некоторых случаях для нахождения решения функционального уравнения целесообразно продифференцировать обе части уравнения, если, конечно, производная существует. В результате получим функциональное уравнение, которое содержит и производную неизвестной функции. Решим это уравнение относительно производной. Тогда неизвестная функция является одной из первообразных для найденной производной. Этот метод уже применялся при решении уравнения Коши в классе дифференцируемых функций.

Пример 22. Найти в классе функций, имеющих непрерывные производные, решение уравнения

f(3x+2) = 3f(x), x R. (6.13)

Решение. Попытки решить уравнение методом предельного перехода не приводят к желаемому результату. Левая и правая части (6.13) являются функциями от х. Они равны, следовательно, равны их производные по х. Продифференцируем (6.13) и после сокращения получим

f′(3x+2) = 3f′(x)

Это уравнение уже можно решить методом предельного перехода. Выполнив подстановку , получим цепочку равенств

Ввиду непрерывности , при n → ∞, имеем

Итак, = k, где k === . Первообразная функция f(х) == kx + b. Подставив в (6.13) х = –1, получим f(—1) = 0. Кроме того, f(–1) = – k + b, т. е. k = b.

Легко проверить, что f (х) = k (х + 1) удовлетворяет условию при произвольном k.

Пример 23. Найти все действительные дифференцируемые функции, удовлетворяющие функциональному уравнению

(6.14)

Решение. Пусть f удовлетворяет данному уравнению. Тогда

т.е. f(0)[1+f ²(x)] = 0, и, следовательно, f(0) = 0.

После преобразований имеем

, (6.15)

откуда, с учётом

следует, что

f(x) = C (1+f ²(x)), (6.16)

где C = f′(0). Значит,

Условие f(0) = 0 означает, что C₁ = 0, т.е. f(x) = tg Cx. Очевидно, все функции вида tg Cx подходят под условие задачи.

Пример 24. Найти функцию f(x), удовлетворяющую уравнению

f′(x) +xf (-x) = ax x R, a = const.

Решение. f′(-x)-xf(x) = -ax. Введём новые функции

Ясно, что функция F(x) - чётная, а G(x) - нечётная функции, причём f(x) = F(x)+G(x). Получим уравнение относительно новых функций F(x) и G(x):

G′(x)-xG(x) = 0, F′(x) +xF(x) = ax,