Тема: Элементы теории множеств

Начало формы

Конец формы

Даны три множества: , и . Тогда число элементов множества равно …

5 |

Решение:
Выполним операцию в скобках, то есть определим множество . Теперь выполним объединения , в результате которого получится множество чисел . Таким образом, множество содержит пять элементов.

ЗАДАНИЕ N 2 сообщить об ошибке
Тема: Метрические пространства

Начало формы

Конец формы

Функция , заданная на множестве натуральных чисел …

удовлетворяет всем трем аксиомам метрического пространства

ЗАДАНИЕ N 3 сообщить об ошибке
Тема: Мера плоского множества

Начало формы

Конец формы

Мера плоского множества равна …

Решение:
В условии дана окружность радиуса 1, то есть кривая. Ее мера равна нулю.

ЗАДАНИЕ N 4 сообщить об ошибке
Тема: Отображение множеств

Начало формы

Конец формы

Биективное отображение отрезка на отрезок может быть задано функцией …

ЗАДАНИЕ N 1 сообщить об ошибке
Тема: Мера плоского множества

Начало формы

Конец формы

Мера плоского множества равна …

Решение:
Мера плоского множества равна площади соответствующей фигуры, изображенной на рисунке:

Вычислим ее с помощью определенного интеграла. . Следовательно, мера этого множества равна .

ЗАДАНИЕ N 2 сообщить об ошибке
Тема: Элементы теории множеств

Начало формы

Конец формы

Даны два множества: и . Тогда количество целых значений , принадлежащих объединению множеств и , равно …

8 |

Решение:
Объединением множеств и является промежуток , который содержит восемь целых чисел.

ЗАДАНИЕ N 3 сообщить об ошибке
Тема: Отображение множеств

Начало формы

Конец формы

Прообразом множества при отображении является …

Решение:
Прообразом множества при отображении являются те точки , которые при данном отображении попадают в отрезок , то есть множество .

ЗАДАНИЕ N 4 сообщить об ошибке
Тема: Метрические пространства

Начало формы

Конец формы

Функция , где – действительные числа, …

удовлетворяет всем трем аксиомам метрического пространства

Решение:
Функция , где – действительные числа, удовлетворяет всем трем аксиомам метрического пространства.

ЗАДАНИЕ N 18 сообщить об ошибке
Тема: Отображение множеств

Начало формы

Конец формы

Отображение, действующее из отрезка на действительную числовую ось и имеющее обратное отображение, может быть задано функцией …

Решение:
Функция, действующая из отрезка на действительную числовую ось и имеющая обратную, должна быть непрерывной и монотонной на . Например, это функция .

ЗАДАНИЕ N 19 сообщить об ошибке
Тема: Элементы теории множеств

Начало формы

Конец формы

Даны множества: , . Тогда число целых чисел, принадлежащих их объединению равно …

ЗАДАНИЕ N 20 сообщить об ошибке
Тема: Мера плоского множества

Начало формы

Конец формы

Мера плоского множества, изображенного на рисунке,

равна …

ЗАДАНИЕ N 21 сообщить об ошибке
Тема: Метрические пространства

Начало формы

Конец формы

Функция , где – действительные числа, …

удовлетворяет всем трем аксиомам метрического пространства

Решение:
Функция , где – действительные числа, удовлетворяет всем трем аксиомам метрического пространства.

ЗАДАНИЕ N 19 сообщить об ошибке
Тема: Мера плоского множества

Начало формы

Конец формы

Мера плоского множества равна …

ЗАДАНИЕ N 20 сообщить об ошибке
Тема: Отображение множеств

Начало формы

Конец формы

Отображение действует по правилу: Тогда имеет вид …

Решение:
Так как при и при , то .

ЗАДАНИЕ N 21 сообщить об ошибке
Тема: Элементы теории множеств

Начало формы

Конец формы

Даны три множества: , и . Тогда число элементов множества равно …

3 |

Решение:
Выполним операцию в скобках, то есть определим множество . Теперь выполним вычитание, в результате которого получится множество чисел, принадлежащих , но без чисел множества : . Таким образом, множество содержит три элемента.

ЗАДАНИЕ N 22 сообщить об ошибке
Тема: Метрические пространства

Начало формы

Конец формы

Функция , где – действительные числа, …

удовлетворяет всем трем аксиомам метрического пространства

ЗАДАНИЕ N 9 сообщить об ошибке
Тема: Элементы теории множеств

Начало формы

Конец формы

Даны три множества: , и . Тогда число элементов множества равно …

ЗАДАНИЕ N 10 сообщить об ошибке
Тема: Мера плоского множества

Начало формы

Конец формы

Мера плоского множества равна …

Решение:
Мера плоского множества равна площади соответствующей фигуры, то есть круга с радиусом 1. Следовательно, мера этого множества равна .

ЗАДАНИЕ N 11 сообщить об ошибке
Тема: Отображение множеств

Начало формы

Конец формы

Отображение действует по правилу: Тогда имеет вид …

Решение:
Так как при и при , то .

ЗАДАНИЕ N 12 сообщить об ошибке
Тема: Метрические пространства

Начало формы

Конец формы

Функция , где – действительные числа, …

не удовлетворяет аксиоме симметрии

Решение:
Функция , где – действительные числа, не удовлетворяет аксиоме симметрии, так как .

ЗАДАНИЕ N 20 сообщить об ошибке
Тема: Элементы теории множеств

Начало формы

Конец формы

Даны три множества: , и . Тогда число элементов множества равно …

ЗАДАНИЕ N 21 сообщить об ошибке
Тема: Метрические пространства

Начало формы

Конец формы

Не может служить метрикой пространства функция …

ЗАДАНИЕ N 22 сообщить об ошибке
Тема: Отображение множеств

Начало формы

Конец формы

Отображение действует по правилу: Тогда имеет вид …

ЗАДАНИЕ N 23 сообщить об ошибке
Тема: Мера плоского множества

Начало формы

Конец формы

Мера плоского множества равна …

ЗАДАНИЕ N 13 сообщить об ошибке
Тема: Мера плоского множества

Начало формы

Конец формы

Плоская мера отрезка [0; 1], лежащего на оси в плоскости равна …

ЗАДАНИЕ N 14 сообщить об ошибке
Тема: Элементы теории множеств

Начало формы

Конец формы

Даны два множества: и . Тогда количество целых значений , принадлежащих пересечению множеств и , равно …

4 |

Решение:
Пересечением множеств и является промежуток [-1; 3), который содержит четыре целых числа.

ЗАДАНИЕ N 15 сообщить об ошибке
Тема: Отображение множеств

Начало формы

Конец формы

Обратимым на является отображение …

Решение:
Отображение называется обратимым, если существует отображение такое, что , где – тождественные отображения на множествах и соответственно.
По критерию обратимости: отображение будет обратимым, если оно инъективно и сюръективно.
Отображение на отрезке не инъективно, например, для точек и образы совпадают: .
Отображения и также не инъективны, например, для точек и в обоих случаях . Отображение инъективно (для ) и сюръективно (отрезок переходит в отрезок ); обратным для него будет отображение .

ЗАДАНИЕ N 16 сообщить об ошибке
Тема: Метрические пространства

Начало формы

Конец формы

Функция , заданная на множестве натуральных чисел …

удовлетворяет всем трем аксиомам метрического пространства

Решение:
Проверим выполнение аксиом метрического пространства:
А) ,
Б) ,
В) .
Пусть .
Обратно .
.
Составим неравенство треугольника для

Таким образом, заданная функция удовлетворяет всем аксиомам метрики на множестве натуральных чисел.

ЗАДАНИЕ N 16 сообщить об ошибке
Тема: Элементы теории множеств

Начало формы

Конец формы

Даны три множества: , и . Тогда число элементов множества равно …

5 |

Решение:
Выполним операцию в скобках, то есть определим множество . Теперь выполним объединения , в результате которого получится множество чисел . Таким образом, множество содержит пять элементов.

ЗАДАНИЕ N 17 сообщить об ошибке
Тема: Метрические пространства

Начало формы

Конец формы

Расстояние между точками и в метрике , где и , равно …

ЗАДАНИЕ N 18 сообщить об ошибке
Тема: Мера плоского множества

Начало формы

Конец формы

Плоская мера отрезка [0; 1], лежащего на оси в плоскости равна …

ЗАДАНИЕ N 19 сообщить об ошибке
Тема: Отображение множеств

Начало формы

Конец формы

Обратимым на является отображение …

Решение:
Отображение называется обратимым, если существует отображение такое, что , где – тождественные отображения на множествах и соответственно.
По критерию обратимости: отображение будет обратимым, если оно инъективно и сюръективно.
Отображение на отрезке не инъективно, например, для точек и образы совпадают: .
Отображения и также не инъективны, например, для точек и в обоих случаях . Отображение инъективно (для ) и сюръективно (отрезок переходит в отрезок ); обратным для него будет отображение .

ЗАДАНИЕ N 27 сообщить об ошибке
Тема: Элементы теории множеств

Начало формы

Конец формы

Даны три множества: , и . Тогда число элементов множества равно …

1 |

Решение:
Определим множество и выполним операцию пересечения . В результате получится множество , состоящее из одного элемента.

ЗАДАНИЕ N 28 сообщить об ошибке
Тема: Мера плоского множества

Начало формы

Конец формы

Плоская мера множества равна …

ЗАДАНИЕ N 29 сообщить об ошибке
Тема: Метрические пространства

Начало формы

Конец формы

Расстояние между точками и в метрике , где и , равно …

ЗАДАНИЕ N 30 сообщить об ошибке
Тема: Отображение множеств

Начало формы

Конец формы

Прообразом множества при отображении является …

ЗАДАНИЕ N 31 сообщить об ошибке
Тема: Отображение множеств

Начало формы

Конец формы

Обратимым на является отображение …

ЗАДАНИЕ N 32 сообщить об ошибке
Тема: Мера плоского множества

Начало формы

Конец формы

Мера плоского множества равна …

ЗАДАНИЕ N 33 сообщить об ошибке
Тема: Метрические пространства

Начало формы

Конец формы

Функция , где и , …

не удовлетворяет аксиоме треугольника

Решение:
Функция , где и , не удовлетворяет аксиоме треугольника, например, для точек (-1, -1), (0, 0) и (1, 1).

ЗАДАНИЕ N 34 сообщить об ошибке
Тема: Элементы теории множеств

Начало формы

Конец формы

Даны три множества: , и . Тогда число элементов множества равно …

ЗАДАНИЕ N 41 сообщить об ошибке
Тема: Метрические пространства

Начало формы

Конец формы

Функция , где – действительные числа, …

удовлетворяет всем трем аксиомам метрического пространства

ЗАДАНИЕ N 42 сообщить об ошибке
Тема: Мера плоского множества

Начало формы

Конец формы

Мера плоского множества, изображенного на рисунке,

равна …

ЗАДАНИЕ N 43 сообщить об ошибке
Тема: Элементы теории множеств

Начало формы

Конец формы

Даны три множества: , и . Тогда число элементов множества равно …

5 |

Решение:
Выполним операцию в скобках, то есть определим множество . Теперь выполним объединения , в результате которого получится множество чисел . Таким образом, множество содержит пять элементов.

ЗАДАНИЕ N 44 сообщить об ошибке
Тема: Отображение множеств

Начало формы

Конец формы

Отображение действует по правилу: Тогда имеет вид …

Решение:
Так как при и при , то .

ЗАДАНИЕ N 14 сообщить об ошибке
Тема: Отображение множеств

Начало формы

Конец формы

Отображение действует по правилу: Тогда имеет вид …

Решение:
Так как при и при , то .

ЗАДАНИЕ N 15 сообщить об ошибке
Тема: Элементы теории множеств

Начало формы

Конец формы

Даны два множества: и . Тогда количество целых значений , принадлежащих разности множеств \ , равно …

ЗАДАНИЕ N 16 сообщить об ошибке
Тема: Мера плоского множества

Начало формы

Конец формы

Плоская мера отрезка [0; 1], лежащего на оси в плоскости равна …

---

---

1234567