Раздел II Аналитическая геометрия.
ЛЕКЦИЯ 4
Тема Векторная алгебра.
Действительные числа. Числовая ось
Существуют различные методы построения теории действительных (вещественных) чисел. Мы будем считать действительными числами всевозможные десятичные дроби, положительные и отрицательные, конечные и бесконечные, периодические и непериодические. Конечные и бесконечные периодические дроби называют рациональными числами, бесконечные непериодические – иррациональными.
Модуль (или абсолютная величина) действительного числа а обозначается символом |а| и определяется формулой
Некоторые свойства модуля:
1. |а| ≥ 0;
2. |-а|= |а|;
3. |а∙b| = |а|∙|b|;
4. |а+b| ≤ |а|+|b |;
5. |а|= .
Для наглядного изображения чисел служит числовая ось. Ось – это прямая, с выбранным на ней направлением (указывается стрелкой). Числовая ось – это ось с выбранными на ней двумя точками О и Е. Точка О называется началом отсчета; она делит ось на две полуоси – положительную, обозначаемую символом R+, и отрицательную, обозначаемую Rֿ. Точка Е R+ и называется единичной точкой. Отрезок ОЕ называется единичным и служит для измерения длин отрезков и расстояний между точками оси. Примем за аксиому тот факт, что расстояние между любыми двумя точками оси можно выразить действительным числом. Расстояние между точками M и N будем обозначать d (M, N). Теперь можно установить соответствие между числами и точками числовой оси:
|
|
1) числу а соответствует точка А, находящаяся на расстоянии |а| от начала отсчета, причем А R+, если а > 0, А Rֿ, если а<0;
2) точке A соответствует число а = ± d (A, О), причем знак ''+'' выбираем, если А R+, а ''–'' выбираем, если А Rֿ;
3) числу 0 соответствует начало отсчета (и наоборот).
В силу этого соответствия вполне допустимы обороты ''число А '' и ''точка а ''. Модуль числа а можно понимать как расстояние от начала отсчета до точки, которая изображает число а.