double arrow

Действительные числа. Числовая ось

Раздел II Аналитическая геометрия.

ЛЕКЦИЯ 4

Тема Векторная алгебра.

Действительные числа. Числовая ось

Существуют различные методы построения теории действительных (вещественных) чисел. Мы будем считать действительными числами всевозможные десятичные дроби, положительные и отрицательные, конечные и бесконечные, периодические и непериодические. Конечные и бесконечные периодические дроби называют рациональными числами, бесконечные непериодические – иррациональными.

Модуль (или абсолютная величина) действительного числа а обозначается символом |а| и определяется формулой

Некоторые свойства модуля:

1. |а| ≥ 0;

2. |-а|= |а|;

3. |а∙b| = |а|∙|b|;

4. |а+b| ≤ |а|+|b |;

5. |а|= .

Для наглядного изображения чисел служит числовая ось. Ось – это прямая, с выбранным на ней направлением (указывается стрелкой). Числовая ось – это ось с выбранными на ней двумя точками О и Е. Точка О называется началом отсчета; она делит ось на две полуоси – положительную, обозначаемую символом R+, и отрицательную, обозначаемую Rֿ. Точка Е R+ и называется единичной точкой. Отрезок ОЕ называется единичным и служит для измерения длин отрезков и расстояний между точками оси. Примем за аксиому тот факт, что расстояние между любыми двумя точками оси можно выразить действительным числом. Расстояние между точками M и N будем обозначать d (M, N). Теперь можно установить соответствие между числами и точками числовой оси:

1) числу а соответствует точка А, находящаяся на расстоянии |а| от начала отсчета, причем А R+, если а > 0, А Rֿ, если а<0;

2) точке A соответствует число а = ± d (A, О), причем знак ''+'' выбираем, если А R+, а ''–'' выбираем, если А Rֿ;

3) числу 0 соответствует начало отсчета (и наоборот).

В силу этого соответствия вполне допустимы обороты ''число А '' и ''точка а ''. Модуль числа а можно понимать как расстояние от начала отсчета до точки, которая изображает число а.


Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:  



Сейчас читают про: