Системы счисления

История развития

В истории систем счисления выделяют несколько этапов: начальная стадия счета, непозиционные системы счисления, алфавитные системы нумерации, поместные или позиционные системы счисления. Начальная стадия счета "характеризуется изображением сосчитываемых множеств при помощи частей тела, особенно пальцев рук и ног, палочек, узлов веревки и т.д. Как подчеркивается в статье И.Г. Башмаковой и А.П. Юшкевича "Происхождение систем счисления" ("Энциклопедия элементарной математики", том 1, "Арифметика", 1951 г.), ":несмотря на крайнюю примитивность этого способа изображения, он сыграл исключительную роль в развитии понятия числа". И именно в этот начальный период было сделано одно из крупнейших открытий античной математики. Речь идет о позиционном принципе представления чисел. Как подчеркивается в упомянутой выше статье Башмаковой И.Г. и Юшкевича А.П., "первой известной нам системой счисления, основанной на поместном, или позиционном принципе, является шестидесятеричная система древних вавилонян, возникшая примерно за 2000 лет до н.э.".

Появление позиционной системы обозначения чисел считается одной из основных вех в истории материальной культуры. В ее создании принимали участие целые народы. В 6 в. н.э. подобная система возникла у племени майя. Наиболее распространено мнение, что основанием системы счисления майя является число 20, имеющее "пальцевое" происхождение. Однако известно, что в системе майя есть одно отступление от двадцатеричного основания. Вес следующего за узловым числом 20 индейцы майя выбрали равным 360 (а не 400). Все последующие веса разрядов являются производными от чисел 20 и 360, которые и выступают в роли узловых чисел, образующих систему майя. Как подчеркивается в упомянутой выше статье Башмаковой И. Г. и Юшкевича А. П., это "объясняется тем, что год майя делили на 18 месяцев, по 20 дней в каждом, плюс еще пять дней". Таким образом, как и основание вавилонской системы, узловые числа системы майя имеют астрономическое происхождение. Существенно подчеркнуть, что годовой календарь майя по своей структуре (360+5) совпадал с египетским календарем. Учитывая высокий уровень развития культуры майя, можно высказать предположение, что майя были знакомы с "платоновыми телами" и что их годовой календарь был связан с икосаэдром - правильным телом, двойственным додекаэдру. Икосаэдр представляет собой правильный 20-гранник, гранями которого были правильные треугольники (отсюда деление месяца на 20 дней в календаре майя и выбор числа 20 в качестве первого узлового числа их системы счисления). Икосаэдр имеет 30 ребер (как и у додекаэдра) и 12 вершин (30x12=360). В каждой вершине сходится 5 углов, то есть общее число углов на поверхности икосаэдра равно 5x12=60. Таким образом, числовые характеристики икосаэдра также связаны с 12-, 30- и 60-летними циклами Солнечной системы.

Мы для повседневных вычислений используем десятичную систему счисления, предшественницей которой является индусская десятичная система, возникшая примерно в XII-м столетии нашей эры. Известный французский математик Лаплас (1749-1827) выразил свое восхищение позиционным принципом и десятичной системой в следующих словах:

"Мысль выражать все числа девятью знаками, придавая им, кроме значения по форме, еще значение по месту, настолько проста, что именно из-за этой простоты трудно понять, насколько она удивительна. Как нелегко было прийти к этой методе, мы видим на примере величайших гениев греческой учености Архимеда и Аполлония, от которых эта мысль осталась скрытой".

Определения и виды систем счисления

Система счисления – набор правил представления и наименования чисел. Знаки, используемые для записи чисел, называются цифрами. В различных системах счисления используются разные наборы знаков (буквы или цифры) для записи чисел.

Например:

- в десятичной системе счисления используются цифры от 0 до 9

- в двоичной системе – цифры 0 и 1

- в римской системе счисления используются буквы для записи чисел: I – один, V – пять, X – десять, C – сто, D – пятьсот, M – тысяча. Все другие числа строятся комбинацией этих базовых знаков.

Римская система счисления относится к непозиционным системам счисления, одними из недостатков которых является громоздкость записи чисел и сложность операций вычисления.

В позиционных системах счисления значение, описываемое цифрой, зависит от её позиции в форме записи числа. Положение цифры в форме записи числа в позиционной системе счисления, называют разрядом. Число цифр, используемых в позиционной системе счисления, называется основанием системы счисления.

Множитель, равный основанию системы счисления, определяет изменение значения цифры при переносе её в следующий по старшинству разряд (располагающийся слева от данного). Если основание системы счисления равно p, то такую систему счисления называют p -ричной (двоичной, троичной, восьмеричной, десятичной, шестнадцатеричной и т.д.)

Разряд шестнадцатеричного числа может принимать одно из 16 различных значений. Для его представления используются десять цифр (от 0 до 9) и шесть букв латинского алфавита: A, B, C, D, E, F:

A – 10 B – 11 C – 12
D – 13 E – 14 F – 15

Соответствие между первыми шестнадцати натуральными числами в различных системах счисления представлено в таблице перевода:

Перевод чисел из одной системы в другую

При переводе чисел из десятичной в системе с основанием B (B>1) используется следующий алгоритм:

Целая часть числа:
Число делится на B, после чего запоминается остаток от деления, полученное частное вновь делится на B, остаток запоминается. Процедура продолжается до тех пор, пока частное не станет равно 0. Остатки от деления на B выписываются в порядке, обратном их получению.

Дробная часть числа:
Число умножается на B, после чего целая часть умножается и отбрасывается. Вновь полученная дробная часть умножается на B и т.д. Процедура продолжается до тех пор, пока дробная часть не станет равной 0 или меньше заданной величины. Целые части выписываются после двоичной запятой в порядке их получения