Решение. 1. Определяем степень статической неопределимости

1. Определяем степень статической неопределимости:

Так как система внешне статически неопределима, то степень статической неопределимости определяем по формуле:

n_СТ = С_ОП – 3 = 4 – 3 = 1,

таким образом ферма один раз статически неопределима.

2. Выбираем основную систему: так как ферма симметричная, то лучше отбрасывать одну центральную опорную связь.

Строим эквивалентную систему:

3. Каноническое уравнение метода сил выглядит следующим образом:

δ₁₁Χ₁ + Δ_1Р = 0,

4. Определяем внутренние усилия во всех стержнях фермы.

a) Определяем аналитически усилия в каждом стержне в основной системе от действия силы Х₁ = 1 (в единичном состоянии). Все расчеты заносим в таблицу (столбец 4).

Определяем опорные реакции

Σ Х = 0, H₁ = 0

Σ М₁ = 0, Х₁·3d - V₁₂· l = 0, Х₁·9 - V₁₂·18 = 0, V₁₂ = 0,5(т)

Σ М₁₂ = 0, - Х₁·3d + V₁· l = 0, -Х₁·9 + V₁₉·18 = 0, V₁ = 0,5(т)

Σ Y = 0, V₁ + V₁₂ - Х₁ = 0, 0 = 0

Реакции найдены верно.

Определяем внутренние усилия во всех стержнях фермы в единичном состоянии. Результаты вычислений заносим в таблицу.

cos α = l ₁₃ / l ₁₂ = 0,707 sin α = l ₂₃ / l ₁₂ = 0,707

cos β = l _4К / l ₂₄ = 0,316 sin β = l _2К / l ₂₄ = 0,949

sin γ = l ₆₇ / l ₅₆ = 0,587

(способ вырезания узлов)

Σ Y = 0, V₁ + N₁₂· sin α = 0,

N₁₂ = - V₁ / sin α

N₁₂ = - 0,5 / 0,707 = - 0,707 (т)

(способ вырезания узлов)

Σ Х = 0, N₁₃ + N₁₂· cos α = 0,

N₁₃ = - N₁₂· cos α

N₁₃ = 0,707· 0,707 = 0,5 (т)

(по признакам)

N₃₅ = N₁₃, N₃₅ = 0,5(т),

N₂₃ = 0

(способ моментной точки)

Σ М_О24 = 0,

V₁· 6 + N₂₄· r₂₄ = 0,

N₂₄ = - V₁· 6/ r₂₄ ,

r₂₄ = sin β· l ₄₅ = 3,795(м)

N₂₄ = - 0,5· 6/ 3,795 =

=- 0,791(т)

(способ моментной точки)

Σ М_О25 = 0,

-V₁· а + N₂₅· r₂₅ = 0,

N₂₅ = V₁· а / r₂₅ ,

а = 6(м), r₂₅ = cos α· (а + 6)= 8,485(м)

N₂₅ = 0,5· 6 / 8,485 = 0,354(т)

(по признакам)

N₄₆ = N₂₄, N₄₆ = - 0,791 (т),

N₄₅ = 0

(способ моментной точки)

Σ М_О57 = 0,

V₁· 9 - N₂₄· 5 = 0,

N₅₇ = V₁· 9 / 5,

N₅₇= 0,5· 9 / 5 = 0,9 (т)

(способ моментной точки)

Σ М_О56 = 0,

-V₁·а - N₅₆· r₅₆ = 0,

r₅₆ = sin γ· (а+6) = 10,29(м)

N₅₆ = - V₁·а / r₅₆

N₅₆ =- 0,5·6 /10,29 = - 0,292(т)

(по признакам)

N₇₉ = N₅₇, N₇₉ = 0,9 (т),

N₆₇ = Х₁ , N₆₇ = 1 (т)

Так как ферма симметричная и нагрузка также симметричная, то усилия в симметричных стержнях будут равны. Следовательно, рассчитываем только половину фермы, а остальные усилия запишем по аналогии.

b) Определяем аналитически усилия в каждом стержне в основной системе от действия заданной внешней нагрузки (в грузовом состоянии). Все расчеты заносим в таблицу (столбец 5).

Определяем опорные реакции:

Σ Х = 0, H₁ = 0

Σ М₁ = 0, P₁·3+ P₂·6+ P₃·9+ P₄·12+ P₅·15 - V₁₂·18 = 0, V₁₂ =10(т)

Σ М₁₂ = 0, V₁·18 - P₅·3 - P₄·6 - P₃·9 - P₂·12 - P₁·15 = 0, V₁ =10(т)

Σ Y = 0, V₁ + V₁₂ - P₅ - P₄ - P₃ - P₂ - P₁ = 0, 0 = 0

Реакции найдены верно.

Определяем внутренние усилия во всех стержнях фермы в грузовом состоянии. Результаты вычислений заносим в таблицу.

cos α = l ₁₃ / l ₁₂ = 0,707 sin α = l ₂₃ / l ₁₂ = 0,707

cos β = l _4К / l ₂₄ = 0,316 sin β = l _2К / l ₂₄ = 0,949

sin γ = l ₆₇ / l ₅₆ = 0,587

(способ вырезания узлов)

Σ Y = 0, V₁ + N₁₂· sin α = 0,

N₁₂ = - V₁ / sin α

N₁₂ = - 10 / 0,707 = -14,14 (т)

(способ вырезания узлов)

Σ Х = 0, N₁₃ + N₁₂· cos α = 0,

N₁₃ = - N₁₂· cos α

N₁₃ = 14,142· 0,707 = 10 (т)

(по признакам)

N₃₅ = N₁₃, N₃₅ = 10 (т),

N₂₃ = Р₁ , N₂₃ = 3 (т)

(способ моментной точки)

Σ М_О24 = 0,

V₁· 6 + N₂₄· r₂₄ - Р₁· 3 = 0,

N₂₄ = (Р₁· 3 - V₁· 6)/ r₂₄ ,

r₂₄ = sin β· l ₄₅ = 3,795(м)

N₂₄ = (3· 3 - 10· 6)/ 3,795 =

=-13,44(т)

(способ моментной точки)

Σ М_О25 = 0,

-V₁· а + N₂₅· r₂₅ + Р₁·(а+3)= 0,

N₂₅ = (V₁· а -Р₁·(а+3))/ r₂₅ ,

а = 6(м), r₂₅ = cos α· (а + 6)= 8,485(м)

N₂₅ = (10· 6 - 3· 9)/ 8,485 = 3,889(т)

(по признакам)

N₄₆ = N₂₄, N₄₆ = -13,44 (т),

N₄₅ = 0

(способ моментной точки)

Σ М_О57 = 0,

V₁· 9 - Р₁· 6 - Р₂· 3 - N₂₄· 5 = 0,

N₅₇ = (V₁· 9 - Р₁· 6 - Р₂· 3)/ 5,

N₅₇= (10· 9 - 3· 6 - 5· 3)/ 5 =

=11,4(т)

(способ моментной точки)

Σ М_О56 = 0,

Р₁·(3+а) - V₁·а - Р₂·(6+а) – N₅₆· r₅₆ = 0,

r₅₆ = sin γ· (а+6) = 10,29(м)

N₅₆ =(Р₁·(3+а) - V₁·а + Р₂·(6+а))/ r₅₆

N₅₆ =(3·9- 10·6 +5·12)/10,29 =2,624(т)

(по признакам)

N₇₉ = N₅₇, N₇₉ = 11,4 (т),

N₆₇ = 0

Так как ферма симметричная и нагрузка также симметричная, то усилия в симметричных стержнях будут равны. Следовательно, рассчитываем только половину фермы, а остальные усилия запишем по аналогии.

5. Исходя из найденных усилий, рассчитываем таблицу.

Находим коэффициенты канонического уравнения:

δ₁₁ =

(суммируем столбец 4)

Δ_1р =

(суммируем столбец 5)

6. Из канонического уравнения находим

Χ₁ = -Δ_1Р/ δ₁₁ = -343,603/27,073 = -12,692 т

7. Окончательные усилия в каждом стержне определим по формуле

Результаты также занесем в таблицу(столбец 8,9):

N_ок = N₁·Х₁ + N_Р

8. Для найденных значений внутренних усилий в стержнях фермы

выполним проверки:

a) Статическая проверка – любой вырезанный узел должен находиться в состоянии статического равновесия. Для этого вырежем узел в котором сходится наибольшее количество стержней – узел 5

Σ Х= 0, -N₃₅ - N₅₇ – N₂₅· cos α + N₅₆· cos γ = 0,

- 3,654 - 0,023 + 0,604· 0,707 + 6,33· 0,515 = 0,009 ≈ 0

Σ Y= 0, - Р₂ – N₂₅· sin α + N₅₆· sin γ = 0,

- 5 - 0,604· 0,707 + 6,33· 0,587 = 0,0017≈ 0

b) Деформационная проверка

Δ_1ок = = 0

Деформационную проверку выполним непосредственно в таблице (столбец 10)

Проверки выполнены, значит ферма рассчитана верно.