Синтез КИХ-фильтров для специальных способов реализации

Любой КИХ-фильтр при известном импульсном отклике можно реализовать с помощью либо прямой свертки, либо ДПФ. Другие (часто весьма эффективные) способы реализации обычно ограничивают класс реализуемых фильтров и требуют специальных алгоритмов синтеза. Простейшим из методов реализации является каскадное соединение фильтров.

Рис. 3.8. Частотный отклик (11х11)-точечного КИХ-фильтра нижних частот, синтезированного методом окон

Для синтеза фильтра в каскадной форме, необходимо сначала выразить частотный отклик в виде произведения сомножителей

(3.35)

После этого коэффициенты фильтра можно выбрать методом итераций из условия минимальности функционала ошибки.

Два КИХ-фильтра с импульсными откликами и , соединенные параллельно, эквивалентны одному фильтру с импульсным откликом

(3.36)

В общем случае опорная область для h будет объединением опорных областей для h₁ и h₂. Но она может быть и меньше, если два фильтра гасят друг друга. Правда, такое разложение редко приводит к сокращению объема вычислений; фактически объем вычислений может увеличиться.

Для сокращения объема вычислений можно наложить на h₁ и h₂ некоторые ограничения, например, потребовать, чтобы h₁ и h₂ были разделимыми фильтрами. Разделимые фильтры отличаются высокой эффективностью реализации, но с их помощью можно точно аппроксимировать только разделимые импульсные отклики. Но при параллельном соединении двух разделимых фильтров образуется неразделимый фильтр. Это дает возможность аппроксимации неразделимых переходных характеристик с помощью легко реализуемых фильтров. Эта идея была первоначально предложена Трейтелем и Шэнксом [2], которые назвали такие фильтры многоступенчатыми разделимыми фильтрами.

Функция следующего вида

(3.37)

является импульсным откликом разделимой системы. Частотный отклик такого фильтра равен прямому произведению двух одномерных частотных откликов.

Такой фильтр можно реализовать путем свертки каждой строки входной последовательности с , а затем каждого столбца результата с . Если импульсный отклик содержит N₁хN₂ отсчетов, то вычисление каждого выходного отсчета потребует всего лишь N₁ + N₂ операций умножения и сложения для вычисления сверток столбцов.