2015-06-26
636
Реализация любого КИХ-фильтра возможна также с помощью дискретного преобразования Фурье (выражение (3.24)). Этот подход особенно эффективен при реализации фильтров высокого порядка, поскольку имеется ряд алгоритмов быстрого преобразования Фурье, позволяющих эффективно вычислять ДПФ [1]. Реализация КИХ-фильтров с помощью дискретных преобразований Фурье эффективна с точки зрения вычислений, но требует значительных объемов памяти. Кроме того, надо еще запомнить отсчеты отклика фильтра 
, что удваивает требуемый объем памяти. При непосредственном вычислении свертки количество входных строк, которые требуется хранить в памяти, зависит от порядка фильтра. Реализация с помощью ДПФ требует запоминания всей входной последовательности независимо от порядка фильтра.
Общее число вещественных умножений для вычисления 
составит 
. Для опорной области линейной свертки 
, представляющей собой прямоугольник размером M1хM2 отсчетов, потребуется 
вещественных умножений на каждый отсчет импульсного отклика фильтра. Если протяженность импульсного отклика фильтра незначительна по сравнению с протяженностью входного сигнала, это число не зависит от порядка фильтра.
|
|
|
Для уменьшения объема требуемой памяти используется метод секционированной свертки, который заключается в том, что операция свертки выполняется над секциями или блоками данных с использованием ДПФ. Ограничение размера секций уменьшает объем требуемой памяти, а использование ДПФ сохраняет вычислительную эффективность процедуры.
3.3.3. Реализация КИХ-фильтров с использованием окон
Метод окон, используемый при синтезе двумерных КИХ-фильтров, принципиально отличается от своего одномерного аналога. Этот метод работает в пространственной области и направлен на аппроксимацию не идеального частотного, а идеального импульсного отклика. Пусть 
и 
– импульсный и частотный отклики идеального фильтра, а 
и 
- импульсный и частотный отклики синтезированного фильтра. Ненулевые отсчеты расположены в некоторой опорной области конечной протяженности R. При использовании метода окон коэффициенты определяются соотношением:
. (3.29)
Последовательность 
носит название функции окна. Ограничив опорной областью R, мы тем самым ограничим той же областью. Поскольку h образуется как произведение i и 
, частотный отклик связан с соотношением свертки в частотной области, а именно
.(3.30)
Для уменьшения погрешности наложения необходимо, чтобы размер опорной области обратного ДПФ в несколько раз превышал опорную область R.
Выбор функции окна обусловливается тремя требованиями:
|
|
|
– окно должно иметь опорную область R;
– функция 
должна аппроксимировать двумерную импульсную функцию, чтобы отклик хорошо аппроксимировал ;
– если требуется получить отклик с нулевой фазой, окно должно удовлетворять условию нулевой фазы.
Все эти требования не отличаются от требований к одномерным окнам, поэтому последние часто служат основой для выбора двумерных окон. Например, двумерное окно с квадратной или прямоугольной опорной областью формируется как прямое произведение двух одномерных окон (п. 1.3, таблица 1.1):
. (3.31)
В качестве примера рассмотрим синтез (11 х 11)-точечного КИХ-фильтра, аппроксимирующего идеальный частотный отклик:
.
(3.32)
Поскольку идеальный отклик чисто веществен, следует синтезировать фильтр с нулевой фазой. Это значит, что начало координат должно быть центром симметрии в области R.
Синтезируем фильтр с использованием окон, взяв в качестве прототипа одномерное окно Кайзера. Идеальный импульсный отклик можно найти, выполнив обратное преобразование Фурье функции :
. (3.33)
Выражение для окна будет иметь вид:
. (3.34)
Перемножив эти выражения, получим искомый фильтр. Частотный отклик фильтров изображен на рис. 3.8 (a, б).
Частотные отклики синтезированных фильтров отличаются от идеального отклика по двум признакам. Отклик не является плоским ни в полосе пропускания, ни в полосе запирания, а срез фильтра не абсолютно острый. Первый недостаток обусловлен наличием боковых лепестков в Фурье-спектре функции окна, второй - конечной шириной главного лепестка Фурье-спектра. Изменение параметра окна 
в выражении для окна Кайзера позволяет находить компромиссное решение для остроты среза и гладкости частотного отклика в полосах пропускания и запирания.
