Теплопроводность твердых тел

Все твердые тела способны проводить теплоту. В изотропном твердом теле распространение теплоты подчиняется закону Фурье (1822):

, (2.1)

где q - поверхностная плотность теплового потока: это вектор, модуль которого равен тепловому потоку через единичное сечение, перпендикулярное q;

Т - температура;

- градиент температуры вдоль нормали п к изотермической поверхности;

κ - коэффициент теплопроводности.

Знак минус в правой части выражения (2.1) связан с тем, что теплота течет в направлении, противоположном градиенту температуры, т. е. от горячей области к холодной.

Для анизотропных твердых тел q, в общем случае, не совпадает с направлением нормали к изотермической поверхности и уравнение (2.1) заменяется следующим:

, (2.2)

где коэффициенты Kij образуют симметричный тензор 2-го ранга:

, . (2.3)

Если тензор (2.2) привести к главным осям (х, у, z), то его можно записать в виде

. (2.4)

Тогда уравнения (2.2) принимают простую форму

, , . (2.5)

Анизотропные кристаллы обычно характеризуют теплопроводностями в направлениях главных осей. В СИ коэффициент теплопроводности имеет размерность Вт/(м×К).

2.3.1 Теплопроводность диэлектриков. Фононы

В общем случае в твердых телах имеют место два основных механизма переноса теплоты:

1) перенос тепловой энергии свободными электронами,

2) перенос тепловой энергии атомными колебаниями.

В металлах действуют оба механизма одновременно. В диэлектриках свободных электронов практически нет. Кинетическая энергия колебаний атомов переносится от нагретого участка к более холодному посредством взаимодействия между атомами.

Тепловые колебания частиц в кристалле распространяются в виде волн. Скорость распространения тепловых волн совпадает со скоростью распространения звука. Подобно энергии электромагнитных волн, энергия тепловых акустических волн тоже квантована. Аналогично кванту световой энергии фотону, квант звуковой волны назван фононом. Энергия фонона равна E = hν. Таким образом, перенос тепловой энергии в кристалле можно рассматривать как процесс распространения гармонических тепловых волн, называемых модами колебаний, либо как процесс распространения воображаемых частиц (квазичастиц) – фононов.

В реальных твердых телах, как показывает эксперимент, теплопроводность оказывается конечной. Конечное значение теплопроводности связано с тем обстоятельством, что в реальном кристалле колебания атомов кристаллической решетки не являются чисто гармоническими из-за того, что силы взаимодействия между атомами нелинейно зависят от смещений атомов.

Ангармонический характер колебаний обычно учитывают в разложении потенциальной энергии ангармоническим членом gx ³. Вводя в разложение потенциальной энергии ангармонические члены, мы тем самым учитываем наличие в реальной ситуации взаимодействия между модами колебаний, которое проще всего описать как рассеяние фононов друг на друге. Рассеяние фононов на фононах сопровождается рождением и исчезновением фононов — либо два фонона пре

вращаются в один, либо один фонон распадается на два (рисунок 2.8).

Квазиимпульс фонона определяется выражением р = h/l,

где λ – длина звуковых волн.

Скорость фонона является скоростью звуковых волн в кристалле. Скорости продольных и поперечных волн в кристалле определяются по формулам:

, .

где Е и G – модули соответственно продольной и поперечной упругости.

Усредненное значение скорости звука связано с v_l и v_t соотношением

Для анализа зависимости теплопроводности от температуры воспользуемся выражением для теплопроводности, полученным в кинетической теории газов, предполагая, что вместо движения молекул имеет место движение фононов:

,

где C_V — теплоемкость единичного объема кристалла, связанная с колебаниями решетки;

< v_зв > — средняя скорость фононов, приблизительно равная скорости звука в кристалле, которую можно считать слабо зависящей от температуры;

< l_ф > — средняя длина свободного пробега фононов, равная среднему расстоянию, которое они проходят между двумя последовательными актами рассеяния;

— эффективное время релаксации, обратное значение которого t ^-1 соответствует частоте столкновения фононов.

C_V и < l_ф > являются величинами, которые определяют зависимость теплопроводности от температуры. При высоких температурах удельная теплоемкость приближается к предельному значению, определяемому законом Дюлонга и Пти, т. е. становится не зависящей от температуры, поэтому зависимость теплопроводности от температуры определяется преимущественно температурными изменениями длины свободного пробега фононов.

При высоких температурах число фононов очень велико и изменяется с температурой линейно, поэтому частота столкновений растет пропорционально температуре Т, а, следовательно, длина свободного пробега фонона изменяется обратно пропорци­онально температуре:

.

Тогда при Т >> θ_D

,

где θ_D - характеристическая температура Дебая.

Среднее число фононов определяется выражением

.

Число фононов уменьшается по экспоненте при уменьшении температуры, а это означает, что длина свободного пробега фононов с понижением температуры увеличивается экспоненциально:

~ .

Удельная теплоемкость с понижением температуры уменьшается в соответствии с законом Дебая, как Т ³, но рост теплопроводности происходит преимущественно за счет резко возрастаю­щего экспоненциального члена для < l_ф >, тогда

.

При приближении температуры к 0 К длина свободного пробега < l_ф > становится сравнимой с размерами образца и не зависит от температуры. При дальнейшем понижении температуры коэффициент теплопроводности резко спадает вплоть до нуля — так же, как и теплоемкость, т. е. как Т ³.

Описанное выше изменение теплопроводности с температурой хорошо подтверждается многочисленными экспериментальными данными. На рисунке 2.9 приведена типичная зависимость теплопроводности от температуры.

Пунктирная кривая — теплопроводность образцаменьших размеров, для которого максимум достигаетсяпри более высокой температуре