2015-06-26
451
Векторным произведением вектора 
на вектор 
называется третий вектор, обозначаемый символом 
и удовлетворяющий условиям:
1) 
, где 
угол между векторами и ;
2) вектор перпендикулярен каждому из векторов и ;
3) тройка векторов , , имеет ту же ориентацию, что и тройка единичных координатных векторов 
, 
, 
(рис.1.16).
В дальнейшем будем предполагать, что тройка , , является правой.
Модуль векторного произведения равен площади 
параллелограмма, построенного на векторах и : 
.
Векторное произведение можно представить в виде 
, где 
орт векторного произведения .
Векторное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда векторы и коллинеарны: 
, если 
.
С в о й с т в а в е к т о р н о г о п р о и з в е д е н и я:
;
;
.
Если векторы и заданы своими прямоугольными координатами
; 
,
то 
Пример 1. Дан треугольник с вершинами 
; 
, 
. Найти длину высоты, опущенной из вершины 
на сторону 
.
Чтобы решить задачу, достаточно вычислить площадь треугольника 
и длину стороны . Площадь треугольника равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах 
и . Находим координаты этих векторов и координаты их векторного произведения:
|
|
|
; 
; 
.
Находим площадь параллелограмма
.
Так как 
и 
, 
,
то 
, откуда 
.
