Структура утверждений и доказательств

ТЕОРЕМ

Формулировки утверждений или теорем, которые приходится доказывать в различных областях деятельности, бывают одного из следующих двух видов.

1. ”Если A, то B “. Такое утверждение называется достаточными условиями, когда в предположении истинности соотношений, представляемых A, следует истинность соотношений B. Говорят, что условия A являются достаточными для B.

Доказательство такого утверждения использует соотношения, входящие в A, и, возможно, другие известные соотношения с целью получения вывода, содержащего B, если используется схема получения следствий или противоречия, если применяются рассуждения от противного.

2. “ A тогда и только тогда, когда B “. Такое утверждение называется критерием. В этом утверждении A называется необходимыми условиями, а B - достаточными условиями. Оно эквивалентно двум утверждениям приведенного ранее вида: ”Если A, то B “ и ”Если B, то A “. Поэтому доказательство критерия состоит из двух частей. Доказательство первого из приведенных утверждений называется доказательством необходимости, а второго - доказательством достаточности.

Если в произвольном критерии переставить правое и левое соотношения, то наименования таких соотношений как необходимого и достаточного также поменяются. Доказательство необходимости исходного критерия превратится в доказательство достаточности нового критерия. Аналогично, доказательство достаточности исходного критерия превращается в доказательство необходимости для нового критерия.