double arrow

Позиционные и непозиционные системы счисления

Системы счисления принято делить на два класса: непозиционные и позиционные.

В непозиционных СС от положения (позиции) цифры в записи не зависит величина, которую она обозначает. Характерным примером такой системы счисления является римская СС.

Например, в римской СС число CCXXXII складывается из двух сотен, трех десятков и двух единиц и равно двумстам тридцати двум.

В римских числах цифры записываются слева направо в порядке убывания. В таком случае их значения складываются. Если же слева записана меньшая цифра, а справа – большая, то их значения вычитаются.

Например:

VI = 5 + 1 = 6, а IV = 5 – 1 = 4.

MCMXCVIII = 1000 + (-100 + 1000) + (-10 + 100) + 5 + 1 + 1 + 1 = 1998.

Такие системы счисления используются редко, т.к. не приспособлены для вычислений.

На практике наибольшее распространение получили позиционные системы счисления.

Позиционная система счисления – система счисления, в которой значение каждой цифры в изображении числа определяется ее положением (позицией) в ряду других цифр. В каждой позиционной системе счисления имеется основание. Любое число записывается в виде последовательности из цифр основания. Количество цифр основания равно самому основанию. Основание показывает, во сколько раз вес каждой цифры меньше веса цифры, стоящей в старшем соседнем разряде.

Некоторые позиционные системы счисления

Таблица 3.1

Основание Система счисления Знаки
  Двоичная 0,1
  Троичная 0,1,2
  Четвертичная 0,1,2,3
  Пятиричная 0,1,2,3,4
  Восьмиричная 0,1,2,3,4,5,6,7
  Десятиричная 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
  Двенадцатиричная 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,А,В
  Шестнадцатиричная 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,А,В,D,E,F

Числа, которыми мы привыкли пользоваться, называются десятичными и арифметика, которой мы пользуемся, также называется десятичной. Называются они так потому, что каждое число можно составить из набора цифр содержащего 10 символов (цифр) –0123456789.

Возьмём, к примеру, число 246. Его запись означает, что в числе две сотни, четыре десятка и шесть единиц. Следовательно, можно записать следующее равенство:

246 = 200 + 40 + 6 = 2 * 102 + 4 * 101 + 6 * 100

Здесь знаками равенства отделены три способа записи одного и того же числа. Для нас наиболее интересна третья форма записи: 2 * 102 + 4 * 101 + 6 * 100 . Она построена следующим образом:

В нашем числе три цифры. Старшая цифра "2" имеет номер 3. Так вот она умножается на 10 во второй степени. Следующая цифра "4" имеет порядковый номер 2 и умножается на 10 в первой степени. Уже видно, что цифры умножаются на десять в степени на единицу меньше порядкового номера цифры.

При этом пользуются следующим алгоритмом:

1) цифра в каждой позиции умножается на основание в степени на 1 меньшую, чем номер позиции;

2) полученные таким образом значения складываются.

Например:

12310 = 1 * 10+ 2 * 10+ 3 * 100;

1023.2810 = 1 * 10+ 0 * 10+ 2 * 10+ 3 * 10+ 2 * 10-1 + 8 * 10-2

В других системам счисления такой перевод будет выглядеть следующим образом:

1238 = 1х8+ 2 х 8+ 3 х 8= 8310;

1012 = 1 х 2+ 0 х 2+ 1 х 2= 510;

1Е316 = 1 х 16+ 14 х 16+ 3 х 16= 48310.

Здесь индекс числа служит указанием на основание системы счисления. Назовем основанием системы счисления число, равное мощности множества (т.е. количеству элементов множества) различных символов, допустимых в каждой позиции числа.

Десятичная система счисления является однородной. Это означает, что одних и тех же символов достаточно для изображения любого числа. Но в повседневной жизни мы пользуемся и неоднородными системами счисления, и системами счисления с другим основанием. Пример тому – неметрические системы единиц (1 пуд=40 фунтов), система счета времени (1 минута = 60 секунд).

В дальнейшем мы будем рассматривать однородные позиционные системы счисления.

Обозначим через p основание системы счисления. Тогда веса позиций числа могут быть представлены следующим образом:

Таким образом, любое число X в позиционной системе счисления с основанием p можно представить в следующей развернутой форме записи:

,

или

,

где,

p – основание системы счисления;

m – количество позиций или разрядов, отведенное для изображения целой части числа;

s – количество разрядов, отведенное для изображения дробной части числа;

n = m + s – общее количество разрядов в числе,

ai – любой допустимый символ в разряде (т.е. должен принадлежать множеству {0,1, p-1}).

Заметим, что число, равное основанию системы счисления, в самой системе счисления записывается в виде:

pp=10p

В компьютерных науках наибольшее распространение получила не десятичная, а системы счисления с основанием, кратным 2 – двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная.

В двоичной системе счисления допустимыми символами являются только 0 и 1, а само число может быть представлено в виде последовательности нулей и единиц.

Например:

11010010= 1 * 2+ 1 * 2+ 0 * 2+ 1 * 2+ 0 * 2+ 0 * 2+ 1 * 2+ 0 * 2= 16210

В восьмеричной системе счисления допустимыми символами являются 0,1,…7.

Например:

242= 2 * 8+ 4 * 8+ 2 * 8= 16210

В шестнадцатеричной системе допустимыми символами являются 0, 1, 9, A, B, C, D, E, F.

Например:

A216 = 10 * 16+ 2 * 16= 16210


Сейчас читают про: