Выбор системы счисления

В компьютерах в основном используют однородные позиционные системы счисления. При выборе основания р этих систем учитывают такие показатели.

1. Наличие физических элементов для изображения цифр системы в виде од­ного из р состояний, например, разницы напряжений. Уменьшение числа состояний упрощает физический элемент, поэтому наиболее приемлемой является двоичная система.

2. Экономичность системы счисления. Система с большим основанием р обеспечивает представление определенного числа меньшим количеством разрядов. Однако при этом усложняется построение физического элемента с большим числом состояний.

Эффективность системы счисления с основанием р, оценивается ко­личеством цифровых разрядов D, необходимых для изображения опреде­ленного числа с длиной n, то есть D = p_i-n,. При этом учитывается, что уменьшение значения D приводит к уменьшению электронных схем для представления чисел в компьютерах.

Для представления любого десятичного числа длиной, например, n₁₀ = 6 используют

D₁₀ = p₁₀ ∙n₁₀ = 10∙6 = 60 цифроразрядов.

В двоичной сис­теме для представления того же числа (с учетом соотношения п₂ = 3∙n₁₀) требуется иметь D₂ = p₂ ∙3∙ n₁₀ ⁼ 2∙3∙6 = 36 цифровых разрядов.

Наиболее экономичной является система с основанием q = 2,73... ≈3. Двоичная система по экономичности уступает троичной на 5,8%, однако имеет более надежные физические элементы. Кроме того, для запомина­ния цифр троичной системы 0, 1, 2 используют два двоичных физических элемента.

Из этого следует, что самой эффективной является двоичная система счисления.

3. Трудоемкость и быстродействие выполнения арифметических операций. Чем меньше основание p, тем меньше цифр принимают участие в вычисле­нии данных и тем выше быстродействие компьютера.

Например, быстро­действие машины в двоичной системе превышает быстродействие в троич­ной на 26,2%, а в десятичной — в 2,7 раза.

4. Наличие формального математического аппарата для анализа и синтеза цифровых схем. Таким аппаратом для двоичных элементов является буле­ва алгебра.

Таким образом, из перечисленных показателей видно, что самой приемлемой для применения в компьютерах является однородная позиционная двоичная систе­ма счисления. Двоичные системы счисления используют в больших и средних ком­пьютерах, предназначенных для решения научно-технических задач с большим объемом вычислений и сравнительно малым количеством исходных данных.

Двоично-десятичную систему применяют для решения экономических задач, которые характеризуются большим объемом входных и выходных данных в сравне­нии с малым объемом вычислений.

Двоично-десятичная система имеет следующие достоинства:

• не требуется перевод исходных данных из одной системы в другую;

• удобство контроля результатов изображением их на экране дисплея;

• удобство автоматического контроля через наличие избыточных кодов в изображении цифр: 1010, 1011,..., 1111.

Контрольные вопросы

1. Что такое система счисления

2. Как характеризуется числовая информация в компьютерах

3. Что должна обеспечить система счисления

4. В зависимости от способа изображения чисел, на какие виды можно разделить системы счисления

5. Особенности унарной и римской систем счисления.

6. Как можно охарактеризовать позиционную систему счисления

7. Что такое основание системы счисления.

8. Как можно представить целое положительное число в виде многочлена.

9. Как можно представить смешанное число в виде многочлена.

10. Как можно представить дробное число в виде многочлена.

2.2 Виды позиционных систем счисления

В ЕС ЭВМ для представления числовой информации используются сле­дующие системы счисления: десятичная, двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная. В дальнейшем, чтобы отличить, в какой СС записано число, будем указы­вать основание СС в виде индекса в десятичной СС, заключенного в круг­лые скобки. Если основание СС равно 10 или очевидно из контекста, то индекс будет опущен.

Например, число 12,5 записано в десятичной СС, а число С8₍₁₆₎ — в шестнадцатеричной.

Количество цифр, которое требуется для изображения числа в пози­ционной СС, равно основанию системы -р.

Например, для изображения чи­сел в двоичной системе счисления требуются две цифры (р=2), в десятичной –десять (р=10), в шестнадцатеричной — шестнадцать цифр (р=16).

В позиционных системах счисления значение каждой цифры представляется её изображением и позицией в числе.

Так в числе 525₁₀ число 5 находится на двух позициях и принимает значение 5•100=500 (сотни) и 5•1=5 (единицы), а число 2 значение 2•10=20 (десятки).