Доказательство. Поскольку Т0, Т1, S, L и M являются предполными, то остается доказать, что всякий предполный класс в P2 совпадает с одним из этих классов

Поскольку Т ₀, Т ₁, S, L и M являются предполными, то остается доказать, что всякий предполный класс в P ₂ совпадает с одним из этих классов.

Пусть B - произвольный предполный класс в P ₂.

Возможен один из следующих двух случаев:

1) B не содержится ни в одном из классов Т ₀, Т ₁, S, L или M;

2) B целиком содержится в одном из классов Т ₀, Т ₁, S, L или M.

Первый случай оказывается невозможным, поскольку по критерию полноты система B оказывается полной системой.

Во втором случае B либо совпадает с одним из пяти классов Т ₀, Т ₁, S, L и M, либо строго содержится в одном из таких классов.

Вторая из последних ситуаций невозможна. Действительно, пусть B Ì D, где D - один из классов Т ₀, Т ₁, S, L или M,и функция f входит в D, но не принадлежит в B.

Так как D является замкнутым классом, то [ B È { f }] Í D.

Последнее противоречит тому, что B является предполным классом.

Следовательно, система B должна совпадать с одним из пяти предполных классов Т ₀, Т ₁, S, L и M.

Доказательство окончено.