Построение функций-констант

Рассмотрим функцию f ₀. По определению f ₀(0,..., 0) = 1.

Если f ₀(1,..., 1) = 1, то h (x) = f ₀(x,..., x) = 1, т.е. это функция, получаемая из f ₀ отождествлением всех переменных, является константой 1. В противном случае f ₀(1,..., 1) = 0. Поэтому f ₀(x,..., x) = . Тогда по лемме о несамодвойственной функции из f ₀ с помощью функции отрицания и тождественной функции можно получить одну из констант.

Вторая константа получается из первой константы с помощью отрицания (т.е. является отрицанием первой константы).

Значит, из f ₀ можно получить либо одну из констант, либо обе константы и отрицание.

Рассмотрим функцию f ₁. По определению этой функции f ₁(1,..., 1) = 0. Если f ₁(0,..., 0) = 0, то f ₁(x,..., x) = 0, т.е. это функция-константа 0.

В противном случае f ₁(0,..., 0) = 1 и f ₁(x,..., x) = . Тогда из леммы о несамодвойственной функции следует, что из f ₁ можно получить одну из констант. Вторая константа получается из первой константы с помощью функции .

Поэтому из f ₀ и f ₁ с помощью отождествления переменных всегда можно выразить обе функции-константы, а в некоторых случаях еще и функцию отрицания.

4.14.2. Построение отрицания

Рассмотрим функцию f_M. По лемме о немонотонной функции через f_M с помощью функций-констант и тождественной функции x можно выразить отрицание .

4.14.3.Построениеконъюнкции

Рассмотрим функцию f_L. По лемме о нелинейной функции из f_L с помощью уже полученных функций 0, 1, и обозначений переменных можно выразить конъюнкцию x ₁& x ₂.

Следовательно, через функции системы B можно выразить функции полной системы . Тогда на основании теоремы редукции можно утверждать, что B - это полная система.

Доказательство окончено.

Упражнение.

Используя доказательство критерия полноты, выразить функции x ₁& x ₂ и через функции полной системы .

Достоинство доказанной теоремы по сравнению с теоремой редукции состоит в том, что теперь полнота произвольной системы, булевских функций может быть установлена на основании проверки простых свойств у функции системы.

При этом если система B является конечной, то такая проверка может быть проведена за конечное время.

Для проверки полноты произвольной конечной системы B можно построить таблицу со строками, соответствующими функциям системы B, и пятью столбцами, соответствующими пяти классам: Т ₀, Т ₁, S, L и M.

Таблица заполняется символами " + " и " - ". Некоторый элемент таблицы это " + ", если функция, соответствующая строке, содержится в классе функций, соответствующем столбцу. В противном случае элемент таблицы равен "-".

Если в каждом столбце полученной таблицы имеется хотя бы один минус, то B - это полная система.

Если в таблице имеется столбец, содержащий только символы " + ", то B - это неполная система.

Например. Для системы B = { x ₁ ® x ₂, x ₁ + x ₂} таблица имеет вид:

Следовательно, множество функций { x ₁ ® x ₂, x ₁ + x ₂} - это полная система.

Классы Т ₀, Т ₁, S, L и M объединяет одно общее свойство, которое состоит в том, что всякий из них является "почти" полным.