Метод хорд

В данном методе процесс итераций состоит в том, что в качестве приближений к корню уравнения (1) принимаются значения х₁, х₂,..., х_n точек пересечения хорды АВ с осью абсцисс (Рисунок 3). Сначала запишем уравнение хорды AB:

.

Для точки пересечения хорды AB с осью абсцисс (х = х₁, y = 0) получим уравнение:

Пусть для определенности f'' (x) > 0 при а х b (случай f'' (x) < 0 сводится к нашему, если записать уравнение в виде - f(x) = 0). Тогда кривая у = f(x) будет выпукла вниз и, следовательно, расположена ниже своей хорды АВ. Возможны два случая: 1) f(а) > 0 (Рисунок 3, а) и 2) f(b) < 0 (Рисунок 3, б).

Рисунок 3, а, б.

В первом случае конец а неподвижен и последовательные приближения: x₀ = b;

(5)

образуют ограниченную монотонно убывающую последовательность, причем

Во втором случае неподвижен конец b, а последовательные приближения: x₀ = а;

(6)

образуют ограниченную монотонно возрастающую последовательность, причем

Обобщая эти результаты, заключаем:

неподвижен тот конец, для которого знак функции f (х) совпадает со знаком ее второй производной f'' (х);

последовательные приближения xn лежат по ту сторону корня x, где функция f (х) имеет знак, противоположный знаку ее второй производной f'' (х).

Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока не будет обнаружено, что

| x_i - x_i - 1|< e,

где e - заданная предельная абсолютная погрешность.

Пример 4. Найти положительный корень уравнения

f(x) = x3 - 0,2 x2 - 0,2 х - 1,2 = 0

с точностью e = 0,01.

Прежде всего, отделяем корень. Так как

f (1) = -0,6 < 0 и f (2) = 5,6 > 0,

то искомый корень x лежит в интервале [1, 2]. Полученный интервал велик, поэтому разделим его пополам. Так как

f (1,5) = 1,425 > 0, то 1< x < 1,5.

Так как f'' (x) = 6 x - 0,4 > 0 при 1 < х < 1,5 и f (1,5) > 0, то воспользуемся формулой (5) для решения поставленной задачи:

= 1,15;

|x₁ - x₀| = 0,15 > e,

следовательно, продолжаем вычисления;

f (х₁) = -0,173;

= 1,190;

|x₂ - x₁| = 0,04 > e,

f (х₂) = -0,036;

= 1,198;

|x₃ - x₂| = 0,008 < e.

Таким образом, можно принять x = 1,198 с точностью e = 0,01.

Заметим, что точный корень уравнения x = 1,2.