Периодический негармонический сигнал

Математическая модель периодического сигнала – периодическая функция времени x(t) с периодом Т=2p/w₁, удовлетворяющая условиям Дирихле (ограниченная, кусочно-непрерывная, с конечным числом экстремумов и точек разрыва первого рода на протяжении периода).

Приняв множество в качестве базисной системы (полной системы ортогональных функций в произвольном интервале (t_{0 ,} t₀ + T) при любых t₀) получим обобщённую математическую модель периодического сигнала - ряд Фурье в тригонометрической форме:

Коэффициенты ряда - и .

При k = 0 получим и

(характерная структура мат. модели для чётных и нечётных сигналов: пределы интегр-ния)

Если ввести обозначения a_k=A_kCos j _k и b_k=A_kSin j _k, отдельное слагаемое в обобщённой мат. модели приводится к виду, соответствующему модели гармонического сигнала:

a_kCosk w₁ t + b_kSink w₁ t = A_k(Cosk w₁ t Cos j_k + Sink w₁ t Sin j_k ) = A_kCos(k w₁ t- j_k ).

Подставим его в обобщённую математическую модель периодического сигнала. Согласно приведенным формулам коэффициентов ряда Фурье при k=0, b₀=A₀Sin j ₀=0, что возможно только при j ₀=0; отсюда a₀=A₀Cos j ₀ = A₀Cos0 =A₀. С учётом этого получим другой вид тригонометрической модели периодического сигнала:

Она свидетельствует, что периодический сигнал включает постоянную составляющую A₀ и бесконечно большое число гармонических сигналов, называемых гармониками. Гармоника с k = 1 и частотой w ₁ =2p/ T,совпадающей с частотой периодического сигнала, называется основной гармоникой. Остальные составляющие с k > 1 и частотами w_k = kw₁,кратными основной частоте, называют высшими гармониками. Амплитуды и начальные фазы гармоник определяются по коэффициентам ряда:

и