Дискретная свертка и генерация сложных сигналов

В данной работе изучаются прямые методы дискретной свертки и формирование сложных (композиционных) сигналов на их основе. Работа включает теоретический анализ, расчетную и экспериментальную части по моделированию генераторов композиционных сигналов на компьютере и отладочном модуле.

расчетное задание

Исходная разновидность дискретных сигналов задана выражением

Меняя значение N₀, знак параметра S₀, возводя S(k) в квадрат, можно получать различные последовательности.

Из этих последовательностей необходимо сформировать два вида сверток:

S₁₁(k)=S₁(k)٭S₁(k),

S₁₂(k)=S₁(k)٭S₂(k),

где S₁(k) и S₂(k) задаются конкретным вариантом представления сигнала S(k).

При подготовке к экспериментальной части необходимо уточнить модель свертки, определить z-преобразование и составить схемы генерации сверток в однократном и периодическом режимах.

Обратите внимание на две особенности моделирования прямых сверток на компьютере и отладочном модуле.

В прямых методах схема генерации свертки S₁₂(k) составляется последовательным (каскадным) соединением схем генерации сигналов S₁(k) и S₂(k). Здесь возможны различные варианты представления системной функции D₁₂(z) и, следовательно, различная компоновка общей схемы.

При работе с отладочным модулем z-преобразования и соответствующие схемы представляются только в прямой форме — форме №1 (см. (11) и рис.3). Следовательно, возможны только два варианта представления системной функции

и, соответственно, две схемы генерации свертки. В первом варианте последовательно соединяются две схемы с “векторами” параметров B' = (b₀', …, b_р1'), A'= = (a₁', …, а'_q1) и B'' = (b₀'', …, b_p2''), A'' = (a₁'', …, а''_q2). Во втором варианте схема генерации свертки задается пересчитанными “векторами” параметров B=
= (b₀, …, b_p), A = (a₁, …, а_q). Все параметры предварительно рассчитываются и программно вводятся в отладочный модуль.

Ясно, что компьютерное моделирование имеет некоторые преимущества: в первом варианте (каскадного соединения схем) есть возможность устранить дублирующие элементы сдвига в местах соединения схем (см. примеры в подразд. 1.6).

Вторая особенность моделирования: схемы генерации на отладочном модуле восстанавливают сигналы в аналоговой форме (с непрерывным временем). Тем самым имитируется непрерывная (интегральная) свертка.

Расчетную часть выполните по пунктам.

1. Для формирования автосвертки S₁₁(k) сигнала S₁(k), заданного по варианту

1) S₁(k)= S²(k;7,1),

2) S₁(k)= S²(k;6,1),

3) S₁(k)= S(k;7,1),

4) S₁(k)= S(k;7,-1),

предварительно выполните следующие процедуры:

- представьте S₁(k) графиком;

- определите z-преобразование D₁(z);

- запишите системные функции D₁(z) и D₁₁(z) = D₁²(z) схем генерации сигнала S₁(k) и автосвертки S₁₁(k) в прямой форме (форме №1);

- составьте два варианта схемы формирования сигнала автосвертки S₁₁(k) и соответствующие алгоритмы;

- выполните контрольные проверки первых двух значений свертки S₁₁(0) и S₁₁(1) (по схемам, алгоритмам и путем обращения z-преобразования D₁₁(z));

- составьте схему периодического запуска генераторов свертки;

- подготовьте данные (значения параметров А и B) для программирования отладочного модуля.

2. Для формирования свертки S₁₂(k) двух сигналов S₁(k) и S₂(k), заданных по варианту

1) S₁(k)= S(k;7,1), S₂(k)= S(k; 7, -1),

2) S₁(k)= S(k;7,1), S₂(k)= S(k; 6, -1),

3) S₁(k)= S(k;6,1), S₂(k)= S(k; 7, -1),

4) S₁(k)= S(k;6,1), S₂(k)= S(k; 6, -1),

предварительно выполните следующее:

- изобразите графиком сигналы S₁(k) и S₂(k);

- определите их z-преобразования D₁(z) и D₂(z);

- представьте системные функции D₁(z), D₂(z) и D₁₂(z) = D₁(z)∙D₂(z) схем генерации сигналов и их свертки в прямой форме (форме №1);

- составьте два варианта схемы формирования сигнала свертки S₁₂(k) и соответствующие алгоритмы;

- выполните контрольные проверки первых двух значений свертки S₁₂(0) и S₁₂(1) (по схемам, алгоритмам и путем обращения z-преобразования D₁₂(z));

- составьте схему периодического запуска генераторов свертки;

- подготовьте данные (значения параметров А и B) для программирования отладочного модуля.

лабораторное задание

Работа выполняется на компьютере в среде MatLab и отладочном модуле на сигнальном процессоре ADSP-21061. Ознакомьтесь с краткими инструкциями и демонстрационными примерами (см. прил. 2, 3).

Пункты лабораторного задания выполняются в той же последовательности, что и в расчетной части.

1. Моделирование автосвертки.

1.1. Используя приложение Simulink, составьте схемы генерации автосвертки S₁₁(k) в однократном режиме. Схемы запускаются единичным отсчетом. Результаты выведите на экран. Проверьте расчетные предпосылки (протяженность свертки, начальные значения, обнуление за границей свертки).

Запишите на компьютере алгоритмы функционирования схем и вычислите все значения автосвертки S₁₁(k).

1.2. Выполните моделирование автосвертки на отладочном модуле. Составьте два варианта схемы генерации автосвертки S₁₁(k). Организуйте периодический режим генерации. Приведите осциллограммы генерируемых сигналов.

Пункт 1 заканчивается сравнительным анализом результатов моделирования автосвертки на компьютере и отладочном модуле.

2. Моделирование свертки.

2.1. Используя приложение Simulink, составьте две схемы генерации свертки S₁₂(k) в однократном режиме. Запустите схемы единичным отсчетом. Результаты выведите на экран. Проверьте расчетные предпосылки. Запишите на компьютере алгоритмы функционирования схем формирования сверток и вычислите все значения сигнала S₁₂(k).

2.2. Выполните моделирование свертки на отладочном модуле. Составьте два варианта схемы генерации свертки S₁₂(k). В периодическом режиме генерации снимите осциллограммы сигналов на выходе.

Пункт 2 завершается сравнительным анализом всех результатов моделирования свертки на компьютере и отладочном модуле.

содержание отчета

Отчет по работе должен включать расчетную и экспериментальную части в соответствии с пунктами заданий:

- исходные модели сигналов, их графики;

- z-преобразования сигналов и их сверток;

- результаты моделирования на компьютере и отладочном модуле (с графиками и пояснениями);

- выводы по работе.

контрольные вопросы и задачи

1. Запишите общее выражение для свертки двух сигналов S₁₂(m) и выпишите формулы для вычисления первых двух значений S₁₂(0) и S₁₂(1). Проверьте эти значения по результатам работы.

2. Схемы свертки допускают различный порядок соединения звеньев и различные варианты (рекурсивные и нерекурсивные) их реализации. Имеют ли какое-либо преимущество в таких ситуациях рекурсивные схемы? Поясните на примерах данной работы.

3. Обобщите правило свертки на три сигнала S₁(k), S₂(k), S₃(k). Запишите формулу свертки S₁₂₃(m) и ее z-преобразование.

4. Покажите, как проявляются свойства автосвертки при замене:

a) S(k) на –S(k);

б) S(k) на S(k–k₀), k₀ > 0;

в) S(k) на A∙S(k).

5. Приведите полный вывод формулы (52), см. подразд.1.6, и алгоритм формирования сигнала S(k) по схеме свертки рис.18 при создании дискретной модели видеоимпульса (50). По алгоритму последовательно найдите значения S(0), S(1), … для N₀ = 6.

6. Как организовать периодический запуск схем генерации сверток со сменой знака?

7. Автосвертка сигнала

дает функцию

Проверьте значения: S₁₁(0) = 1, S₁₁(N₀/2) = N₀/2, S₁₁(N₀) = 1. Для N₀ = 8 определите значение параметра S₁ сигнала S₁(k). Постройте графики функций S₁(k) и S₁₁(k).

8. В пп. 1.2 и 2.2 лабораторного задания имитируется интегральная свёртка двух сигналов:

Сопоставьте два результата автосвёртки S₁₁(t) и S₁₁(k) непрерывного сигнала (50) и его дискретной модели (51) с N₀ = 6 (см. рис.17).

9. Составьте алгоритм генерации сигнала Y(k) для схемы рис. 15 и последовательно вычислите значения Y(0), Y(1), ….

10. Составьте алгоритм генерации сигнала S(k) для схемы рис. 18 (N₀ = 6) и последовательно определите значения S(0), S(1), ….