С учётом формул Эйлера и формул для расчёта коэффициентов обобщённого тригонометрического ряда Фурье составляющие комплексных амплитуд находятся как

СПЕКТРЫ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ

Комплексную форму математической модели периодического негармонического сигнала получим, представив гармоники в комплексной форме

x(t)=A₀+ + ,

а после внесения постоянной составляющей под знак суммы слагаемым при k = 0 в более компактном виде -

Умножим обе части равенства на и проинтегрируем в интервале (- Т/2, Т/2):

В правой части все слагаемые суммы, кроме одного при n=k,

Обращаются в нуль в силу ортогональности экспоненциальных функций в указанном диапазоне, т.е.

.Поэтому комплексные амплитуды гармоник сигнала определяются по формуле

С учётом формул Эйлера и формул для расчёта коэффициентов обобщённого тригонометрического ряда Фурье составляющие комплексных амплитуд находятся как

,

где и

Множество частотных составляющих с w _k = k w ₁=2 p k/Т при k =0,1,2,…,∞ образуют в совокупности спектр периодического сигнала. Частоты элементарных сигналов – простейших периодических сигналов-гармоник – строго привязаны к периоду конкретного сигнала(постоянная составляющая является частным случаем гармоники с w ₀ = 0 и j ₀ = 0). А варьируемые индивидуальные значения параметров А_k и j _k обеспечивают разнообразие форм получаемых сигналов. Частотное представление периодич. сигнала сводится к указанию его амплитудно-частотной характеристики A_k ₍ w), называемой спектром амплитуд, и фазочастотной характеристики j_k (w) - спектра фаз.

В практических приложениях спектрального представления сигналов основное внимание уделяется амплитудным спектрам. Поэтому в дальнейшем мы будем рассматривать именно спектры амплитуд.

Графически спектры амплитуд и фаз ПНС представляются в виде совокупности бесконечного числа вертикальных линий при частотах 0; ±w ₁; ±w ₂;... (линейчатый спектр). Гармоники сигнала образуют бесконечное, но счетное множество, в силу чего спектры амплитуд и фаз оказываются дискретными и бесконечными.

Основная спектральная характеристика периодического сигнала – комплексный спектр – получается заменой w_k на текущее значение частоты w:

.

Кривая, соединяющая концы спектральных линий, называется огибающей спектра амплитуд. Уравнение её даёт зависимость модуля от частоты для всех частот, кроме , при которой получается вдвое большее значение. Огибающая спектра амплитуд может иметь волнообразный характер и даже спадать до нуля, если отдельные гармоники отсутствуют.

Зависимость аргумента от частоты j _k (w) дает уравнение огибающей спектра фаз.

Основные отличительные признаки и особенности периодических сигналов и их спектров:

· Любые значения амплитуд сигнала повторяются с постоянным периодом Т на бесконечно-большом интервале времени;

Это в определённой мере противоречит представлению о реальном сигнале, но использовать такую модель допустимо, если длительность периодического сигнала t? Т; в противном случае переходят к модели непериодического сигнала;

· Спектры амплитуд и фаз дискретны, т.е. спектр существует не на всей бесконечной шкале частот, а только в отдельных точках;

· Спектры упорядочены – спектральные линии располагаются только при частотах, кратных основной частоте w ₁=2 p / Т;

· Амплитуды гармоник затухают с возрастанием частоты, что следует из сходимости ряда Фурье; при волнообразном характере огибающей наблюдается затухание каждой последующей «волны».

· При определении числовых характеристик периодического сигнала бесконечной продолжительности (t_нач=- ∞, t _кон=+∞) используют следующий прием: рассматривают вначале отрезок сигнала с N периодами (t =NT), а затем осуществляют предельный переход при N ®∞. Тогда при полной повторяемости формы в каждом периоде среднее значение сигнала находится как

x _ср .

Аналогично находится среднее квадрата периодического сигнала

x _ср ² .

Таким образом, числовые характеристики периодического сигнала бесконечной продолжительности совпадают с его числовыми характеристиками за период.

Числовые характеристики простейшего периодического сигнала – гармонического - известны

среднее значение® x _ср(определяется средним значением cos);

среднее квадрата® x _ср ² .

С учётом этого для периодического негармонического сигнала можнопоказать, что

x _ср_.

т.е. среднее значение совпадает с величиной постоянной составляющей.

Определим среднее квадрата (среднюю мощность) периодического сигнала.

В правой части равенства второе слагаемое равно нулю как сумма средних значений гармонических сигналов, а четвёртое слагаемое - в силу ортогональности косинусоидальных функций в пределах периода.