Обратная функция

Пусть функция , определенная на множестве Х, такова, что любым двум различным значениям аргумента х ставит в соответствие различные значения у, то есть, если , то . Эта функция устанавливает взаимнооднозначное соответствие между областью своего определения Х и областью изменения Y.

Действительно, каждой точке ставится в соответствие единственное . При этом каждой точке соответствует единственное , такое, что . Таким образом, на множестве Y определена функция , которая называется обратной к функции f. Область определения обратной функции – множество Y, область значений – множество Х. Графики функции и обратной к ней функции симметричны относительно прямой (рис. 4). Для обратных функций верно соотношение .

Для нахождения обратной функции необходимо из равенства выразить х через у, и в полученном выражении букву х заменить буквой у, букву у – буквой х.

Пример 3. Имеют ли функции и обратные? Если да, то найдите их.

Решение. Выразим х из формулы . Получим . Обозначив аргумент через х, а функцию через у, получим , то есть функция является обратной к функции .

Функция не имеет обратной, так как она не является взаимнооднозначной. Действительно, .

Пример 4. Являются ли функции и взаимнообратными?

Решение. Нет, так как . Однако, если данные функции рассматривать только при , то есть считать , то эти функции становятся взаимнообратными.