Степенные модели

Тема 9. Нелинейная регрессия

Многие экономические зависимости не являются линейными по своей сути, и поэтому их моделирование линейными уравнениями регрессии, безусловно, не даст положительного результата.

Мы ограничимся рассмотрением нелинейных моделей, допускающих сведение их к линейным. Обычно это так называемые линейные относительно параметров модели. Для простоты изложения и графической иллюстрации будем рассматривать модели парной регрессии с последующим естественным переходом к моделям множественной регрессий.

Степенные модели

(Логарифмические модели)

Пусть некоторая экономическая зависимость моделируется формулой (степенная зависимость от )

, (67)

где — параметры модели (т.е. константы, подлежащие определению), - случайный член.

Эта функция может отражать зависимость спроса на благо от его цены (в данном случае ) или от дохода (в данном случае ; при такой интерпретации переменных и функция (67) называется функцией Энгеля). Функция (67) может отражать также зависимость объема выпуска от использования ресурса (производственная функция), в которой , а также ряд других зависимостей.

Модель (67) не является линейной функцией относительно . Стандартным и широко используемым подходом к анализу функций данного рода в эконометрике является логарифмирование по основанию Прологарифмировав обе части (67), имеем логарифмическую модель:

(68)

После замен , (68) примет вид

(69)

Модель (69) является линейной моделью, подробно рассмотренной ранее. Если все необходимые предпосылки классической линейной регрессионной модели для (69) выполнены, то по МНК можно определить наилучшие линейные несмещенные оценки коэффициентов .

Отметим, что коэффициент определяет эластичность переменной по переменной , т.е. процентное изменение для данного процентного изменения . Действительно, продифференцировав левую и правую части (68) по , получим:

(70)

Коэффициент является константой, указывая на постоянную эластичность. Поэтому зачастую двойная логарифмическая модель (или модель (67)) называется моделью постоянной эластичности.

Заметим, что в случае парной регрессии обоснованность использования логарифмической модели проверить достаточно просто. Вместо наблюдений рассматриваются наблюдения . Вновь полученные точки наносятся на корреляционное поле. Если их расположение соответствует прямой линии, то произведенная замена удачна и использование логарифмической модели обосновано.

Данная модель легко обобщается на большее число переменных. Например,

.

Здесь коэффициенты являются эластичностями переменной по переменным и соответственно.

Хорошо известна производственная функция Кобба—Дугласа

(здесь не указан случайный член).

После логарифмирования обеих частей получим:

Здесь — эластичности выпуска по затратам капитала и труда соответственно. Сумма этих коэффициентов является таким важным экономическим показателем, как отдача от масштаба. При говорят о постоянной отдаче от масштаба (во сколько раз увеличиваются затраты ресурсов, во столько же раз увеличивается выпуск). При имеет место убывающая отдача от масштаба (увеличение объема выпуска меньше увеличения затрат ресурсов). При — возрастающая отдача от масштаба (увеличение объема выпуска больше увеличения затрат ресурсов).