Теоретическое введение

Непрерывные случайные величины

Случайная величина Х имеет непрерывное распределение, если она может принимать любые значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно. Строгое определение непрерывной случайной величины следующее: случайная величина называется непрерывной, если математическое ожидание любой функции g (X) можно записать в виде:

(2.1)

Под “любой” функцией g (х) имеется ввиду такая, для которой интеграл (2.1) существует и сходится абсолютно.
Функция φ(x) называется плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х и обладает следующими свойствами:
1. Вероятность попадания величины X в произвольный интервал на оси 0 x равна

(2.2)

т.е. интегралу по А от функции плотности.
Таким образом, функция плотности φ(x) полностью характеризует распределение случайной величины Х.
2. В частности, для интервала (x ₁, x ₂), получаем:

(2.3)

3. Так как вероятность неотрицательна, то из (2.2) следует, что φ(x) ≥ 0 для любого x.
4. Вероятность достоверного события равна 1, поэтому

(2.4)

Последнее равенство называется условием нормировки функции плотности.

График функции плотности распределения φ(x) называется кривой распределения (рис. 1).

Рис. 1. График плотности распределения φ(x) (кривая распределения)

Вероятность попадания случайной величины Х в интервал (x ₁, x ₂) численно равна площади соответствующей криволинейной трапеции. Из условия нормировки следует, что площадь области, ограниченной сверху кривой распределения, а снизу – осью 0 х, равна 1.
Функцией распределения случайной величины Х является функция F (x), равная вероятности события (Х < x), т.е. вероятности того, что случайная величина Х примет значение, меньшее значения аргумента х.
Для непрерывной случайной величины функция распределения равна

(2.5)

и обладает следующими свойствами:
1. 0 ≤ F (x) ≤ 1 для всех x;
2. F (–∞) = 0, F (+∞) = 1;
3. F (x) – неубывающая функция на всей оси;
4. F (x) – непрерывная функция, в точках непрерывности φ(x) она имеет производную:

Вероятность попадания непрерывной случайной величины Х в произвольный интервал (x ₁, x ₂) можно вычислить с помощью функции распределения следующим образом:

Поэтому функция распределения F (х) так же, как и функция плотности распределения φ(x), полностью характеризует распределение вероятностей случайной величины Х и даже более удобна для расчетов вероятностей, так как не требует интегрирования.
В задачах статистики часто бывает нужно найти такое значение х по заданной вероятности Ρ, что

Данное уравнение может иметь, вообще говоря, множество решений. Но для большинства распределений, встречающихся в статистике, функция плотности распределения φ(x) строго положительна для всех Х из некоторого интервала и равна нулю вне этого интервала. Поэтому внутри этого интервала функция F (x) строго монотонно возрастает.
В этих случаях решение уравнения (2.8) существует и единственно для всех Ρ є (0; 1). Оно называется квантилью распределения и обозначается х _Ρ (рис. 2).

Рис. 2. График функции распределения, квантиль и медиана случайной величины Х

Некоторые квантили имеют специальное название. Так, медианой непрерывной случайной величины Х называется действительное число m_X, удовлетворяющее условию:

т. е. решение уравнения F (x) = 0,5.
Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины Х находят по формулам, которые следуют из выражения (2.1):

(2.10)

Дисперсию проще рассчитывать по следующей формуле:

(2.11)