Линейные дифференциальные уравнения I порядка. Уравнение Бернулли

def 1 Уравнение вида

, (1)

где , называется линейным дифференциальным уравнением I порядка (ЛДУ).

def 2 Если в ЛДУ (1) , то его называют неоднородным (ЛНДУ).

def 3 Если в ЛДУ (1) , то его называют однородным (ЛОДУ).

Замечание 1 Далее будем считать, что функции являются непрерывными , где D – область интегрирования ЛДУ (1), в которой выполнены все условия теоремы существования и единственности решения.

Th 1 Пусть функции и непрерывны . Тогда общее решение ЛОДУ (1) может быть найдено по формуле:

, (2)

где с – произвольная константа. Частное решение ЛОДУ, удовлетворяющее начальному условию может быть найдено по формуле:

. (3)

Способы решения ЛНДУ.

1) Метод вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа).

Данный подход базируется на следующей теореме.

Th 2 Пусть функции и непрерывны . Тогда общее решение ЛНДУ (1) может быть найдено по формуле:

, (4)

где с – произвольная константа. Частное решение ЛНДУ, удовлетворяющее начальному условию может быть найдено по формуле:

. (5)

Замечание 2 Формула (4) показывает, что общее решение ЛНДУ равно сумме общего решение ЛОДУ, соответствующего данному ЛНДУ и частному решению этого ЛНДУ, то есть:

(6)

где (7)

В связи с громоздкостью, формулы (2) и (3) не запоминают, они легко могут быть получены при решении ЛОДУ, как ДУ с разделяющимися переменными. Также не имеет смысла помнить формулы (4)-(7), которые также легко могут быть получены в результате реализации алгоритма решения ЛНДУ (1).

Укажем общий алгоритм решения ЛНДУ вида (1) методом вариации произвольной постоянной:

1) Составить для ЛНДУ (1) соответствующее ему ЛОДУ:

(8)

2) Проинтегрировать полученное уравнение (8) как ДУ с разделяющимися переменными, это приведёт к уравнению (2);

3) Полагая в уравнении (2) , выполнить подстановку правой части равенства (2) в ЛНДУ (1), учитывая, что:

4) Проинтегрировать полученное таким образом ДУ с разделяющимися переменными для функции

5) Подставить найденную функцию в формулу (2).

6) Записать ответ.

Пример 1 Решить задачу Коши (9) методом вариации произвольной постоянной.

Решение: Покажем, что ДУ (9) интегрируется по выше указанной схеме.

Составим и найдём общее решение для ЛОДУ, соответствующее ЛНДУ (9):

Уравнение (10) представляет собой общий интеграл ЛОДУ, соответствующего ЛНДУ (9). Полагаем в формуле (10) . Теперь выполним подстановку равенства (10) в ЛНДУ (9):

Таким образом, подставляя найденную функцию в уравнение (10), найдём общее решение ЛНДУ (9):

Подставим начальные условия в равенство (11):

Значит, интегральная кривая удовлетворяющая задаче Коши (9) имеет вид:

Ответ:

2) Метод Бернулли.

Алгоритм данного подхода:

1) В ЛНДУ (1) выполняют замену:

2) В полученном таким образом ДУ выделить в скобках левую часть ЛОДУ (8) для функции

3) Перейти к системе вида:

(13)

4) Из второго уравнения системы (13) найти функцию

5) Подставить функцию в первое уравнение системы (13), а затем проинтегрировать это ДУ как ДУ с разделяющимися переменными. Так будет найдено общее решение этого ДУ:

6) Найти общее решение ЛНДУ (1):

7) Записать ответ.

Пример 2 Решить задачу Коши (9) методом Бернулли.

Решение: Выполним в ДУ (9) замену Бернулли (12) и проинтегрируем полученное ДУ:

Ответ:

Дифференциальное уравнение Бернулли.

Определение 4 Уравнение вида

, (14)

где называется дифференциальным уравнением Бернулли (ДУ Бернулли) с показателем α.

Замечание 3 При ДУ Бернулли (14), всегда имеет решение

Чтобы решить ДУ Бернулли (14) можно выполнить замену:

(15)

Эта подстановка приведёт уравнение (14) к ЛНДУ вида (1) для функции , однако при этом всегда будет потеряно решение если . Хотя, для того чтобы решить ДУ Бернулли (14), нет необходимости в выполнении замены (15). ДУ (14) может быть проинтегрировано как с использованием метода вариации произвольной постоянной, так и с помощью замены Бернулли (12).

Замечание 4 Иногда встречается запись ДУ, в котором роли переменных изменены: за х принимают неизвестную функцию, а за у независимую переменную. Поэтому иногда, некоторые ДУ становятся линейными или ДУ Бернулли, если полагать, что оно для функции .

Напомним, что:

Пример 3 Решить ДУ . (16)

Решение: Область существования и интегрирования данного ДУ задаётся выражением .Покажем, что (16) является ДУ Бернулли относительно функции :

(17)

Значит, (17) представляет собой ДУ Бернулли для функции с показателем , следовательно, ДУ (17) всегда имеет решение Однако, функция не является решением исходного уравнения (16).

Решим уравнение (17) двумя способами:

1) Метод вариации произвольной постоянной:

2) Метод Бернулли:

Ответ: