В n независимых испытаниях

Пусть вероятности p и q – фиксированы, а k изменяется от 0 до n, тогда вероятность p_n (k) – это функция k. Найдем такое число k ₀, которое максимизирует функцию p_n (k). Это число естественно назвать наивероятнейшим числом появления события А (наивероятнейшим числом появления “успеха”). Сравним два числа - p_n (k) и p_n (k+ 1).

; .

. (6.3)

Отношение (6.3) больше 1, если (n - k) p > (k+ 1) q. Тогда np - q > > k (p+q) =k.

Итак, пока т.е. вероятности p_n (k) монотонно возрастают. Соответственно, когда k > np - q, то верно неравенство p_n (k+ 1) < p_n (k) и вероятности p_n (k) начинают монотонно убывать. Если число np – q целое, то имеем два наивероятнейших числа: и

Если же число np – q дробное, то наивероятнейшее число k ₀одно: k ₀– это наименьшее целое число, превосходящее np – q. Другими словами, , где символ [ а ] означает целую часть числа а (рис.6.1).

Рис.6.1

Поясним рис. 6.1

Левая диаграмма на рис. 6.1 Правая диаграмма на рис. 6.1

; ;

; ;

. .