Дія стаціонарного випадкового процесу на ЛДС

У попередньому підрозділі ми розглянули стохастичний аналіз в рамках кореляційної теорії дії на ЛДС дискретного випадкового процесу без будь-яких обмежень на його ймовірнісні характеристики. Тепер розглянемо дію на ЛДС випадкового процесу, який задовольняє умовам стаціонарності (див. п. 2.4). Оскільки ми розглядаємо стохастичний аналіз в рамках кореляційної теорії, то обмежимось стаціонарністю у широкому розумінні.

Отже нехай на нестаціонарну ЛДС з імпульсною характеристикою діє стаціонарний у широкому розумінні дискретний випадковий процес (див. рис. 4.1). На виході маємо відгук Потрібно знайти його математичне сподівання , дисперсію та кореляційну функцію .

Математичне сподівання. Для знаходження математичного сподівання скористаємось формулою (4.2), в якій врахуємо те, що для стаціонарного процесу його математичне сподівання не залежить від часу, тобто . Тоді можемо записати

(4.16)

Отже, як бачимо, математичне сподівання відгуку залежить від часу. Таким чином, якщо на нестаціонарну ЛДС діє стаціонарний процес, то на виході отримуємо відгук у вигляді нестаціонарного процесу.

Далі ми не будемо переписувати співвідношення (4.16) з урахуванням фізичної реалізованості ЛДС та відсутності ненульових відліків вхідного процесу на від’ємній вісі часу. Ці співвідношення читач легко може отримати самостійно на основі формули (4.16), замінивши в останній відповідним чином межі підсумовування, як це було зроблено в п. 4.1.

Приклад 4.9. На ЛДС з імпульсною характеристикою, поданою у вигляді табл. 4.1, діє стаціонарний дискретний випадковий процес з математичним сподіванням Знайти математичне сподівання

Таблиця 4.1

		0,5	0,25	0,125

процесу на виході ЛДС.

Оскільки імпульсна характеристика є скінченою і залежить лише від поточного часу , то ми маємо справу з нерекурсивною стаціонарною ЛДС. Тому для математичного сподівання процесу на виході системи можемо записати:

,

де нижня границя підсумовування у зв’язку з тим, що імпульсна характеристика має лише 4 ненульових значення, починаючи з моменту часу . Дійсно, при під знаком суми маємо значення імпульсної характеристики . При отримуємо значення імпульсної характеристики . Коли маємо . Для маємо . Нарешті, якщо , то отримуємо нульове значення імпульсної характеристики, тобто . Такі ж нульові значення маємо і при інших значеннях .

Підставляючи дані із табл. 4.1 в отриману вище формулу, знаходимо

,

Таким чином, математичне сподівання процесу на виході стаціонарної ЛДС, як і на вході, не залежить від часу.

Кореляційна функція відгуку ЛДС при дії стаціонарного процесу. Спершу введемо такі позначення: для центрованого стаціонарного процесу на вході ЛДС

і для процесу на виході

Тоді, враховуючи зв’язок між центрованими процесами на вході і виході ЛДС (4.7), кореляційна функція процесу на виході

. (4.17)

Оскільки для стаціонарного процесу кореляційна функція залежить лише від різниці моментів часу (див. п. 2.4), тобто

,

то (4.17) можна записати у такому вигляді

.

Отже якщо на вході нестаціонарної ЛДС діє стаціонарний процес, то на виході маємо нестаціонарний відгук.

[1] У тому випадку, коли випадковий сигнал описується ергодичним випадковим процесом, то достатньо мати лише одну реалізацію, але на досить значному часовому інтервалі.