III. Теория разностных схем

1. Основные понятия теории разностных схем.

Погрешность аппроксимации на сетке. Устойчивость разностных схем. Сходимость и точность разностных схем. Связь аппроксимации и устойчивости со сходимостью. Первая формула Грина. Вторая формула Грина.

2. Методы построения разностных схем.

Интегро-интерполяционный метод. Понятие о конечно-элементных схемах.

3.Теория устойчивости разностных схем.

Примеры исследования устойчивости методом гармоник. Корректность операторных уравнений. Каноническая форма двухслойных схем. Устойчивость двухслойной схемы по начальным данным. Устойчивость двухслойной схемы по правой части.

Метод энергетических неравенств. Условие -устойчивости.

4. Методы решения сеточных уравнений.

4.1. Прямые методы решения разностных уравнений.

Метод прогонки для трехточечных уравнений. Метод матричной прогонки. Метод разложения по базису (Фурье алгоритм). Метод редукции.

4.2. Итерационные методы решения разностных уравнений.

Метод простой итерации. Метод Зейделя. Явный итерационный метод с чебышевскими параметрами. Итерационный метод переменных направлений. Метод верхней релаксации. Попеременно-треугольный итерационный метод.

5. Принцип максимума для разностных схем.

Принцип максимума и его следствия. Теорема сравнения. Оценка решения неоднородного уравнения.

6. Экономичные разностные схемы

Схемы переменных направлений. Схема Писмена-Рекфорда.

Аддитивные схемы. Факторизованные схемы.