Полиномиальные испытания

От схемы независимых последовательных испытаний с двумя исходами (схема Бернулли или биномиальная схема) можно перейти к полиномиальной схеме, то есть к схеме последовательных независимых испытаний, в каждом из которых возможны k исходов, k>2, с вероятностями p₁,p₂,…,p_k, 0<p_i<1, p_i=1. В этом случае пространство элементарных событий содержит kⁿ таких событий, а вероятность того, что из n испытаний m₁ закончатся первым исходом, m₂ – вторым исходом,…, m_k – k-м исходом равна

P_n(m₁,…,m_k) = .

Полученная формула носит название полиномиального закона распределения.

Задача 9. Шесть рукописей раскладываются случайным образом в пять папок. Какова вероятность, что ни одна папка не останется пустой?

Решение. На раскладку 6 рукописей в папку можно смотреть на серию шести полиномиальных испытаний с 5 исходами (попадание в i-ую папку – это i-ый исход). Вероятности исходов (папок) совпадают и равны . Событие A=«ни одна папка не останется пустой» означает, что в одну папку попадут 2 рукописи, а в остальные папки – по одной рукописи. Следовательно, вероятность того, что в первую папку попадут 2 рукописи, а в остальные папки – по одной рукописи, равна