Модель Шарпа

Модель Шарпа в отличие от модели Марковица требует меньше информации и вычислений. Шарп пришел к выводу, что доходность каждой отдельной акции строго коррелирует с общей доходностью рынка, поэтому нет необходимости определять ковариацию каждой акции друг с другом, достаточно определить, как они взаимодействуют с рынком.

В основе модели Шарпа лежит метод линейного регрессионного анализа, позволяющий связать две случайные переменные величины - независимую (Х) и зависимую (У) линейным выражением У = α + β·Х. В модели Шарпа независимой считается ожидаемая доходность на фондовом рынке в целом (доходность рыночного портфеля) Rm, вычисленная на основе индекса компании Standart and Poor’s. В качестве зависимой переменной берется доходность Ri какой-нибудь ценной бумаги. Пусть доходность Rm принимает случайные значения Rm1; Rm2…. Rmn, а доходность i-той ценной бумаги значения Ri1; Ri2…. Rin. Тогда линейная регрессионная модель, представляющая взаимосвязь между доходностью рынка и доходностью по конкретной ценной бумаге будет иметь вид:

Ri = αi + βi Rm + εi,

где Ri – доходность i-той ценной бумаги в определенный момент времени (например, 25 июня 2003 года);

αi - это параметр, показывающий какая часть доходности i-той ценной бумаги не связана с изменениями доходности рынка ценных бумаг Rm;

βi – коэффициент, показывающий чувствительность доходности i-той ценной бумаги к изменениям рыночной доходности;

Rm – доходность рыночного портфеля в данный момент времени;

εi - случайная ошибка, связанная с тем, что действительные значения Ri и Rm иногда отклоняются от линейной зависимости. Для упрощения расчетов ее можно принять равной 0.

βi - коэффициент «бета» - измеритель риска вложений, реакция (чувствительность) ожидаемого дохода по ценной бумаге на изменение внешних факторов;

Значение βi можно посчитать по следующим формулам:

βi = σi, βi = ρi,m · σi,

σm² σm

где σi - среднеквадратичное отклонение доходности i-той ценной бумаги;

σm - среднеквадратичное отклонение доходности по рынку в целом;

ρim – коэффициент корреляции доходности i-той ценной бумаги и по рынку в целом.

Предполагая, что инвестор формирует портфель из n ценных бумаг, Шарп вводит следующие предварительные условия:

- среднеарифметическая величина случайных ошибок Еε для всех ценных бумаг портфеля равна 0;

- дисперсия случайных ошибок σε² для каждой ценной бумаги постоянна.

- для каждой ценной бумаги отсутствует корреляция между наблюдаемыми в течение T лет величинами случайных ошибок;

- отсутствует корреляция между случайными ошибками εi и рыночной доходностью;

- отсутствует корреляция между случайными ошибками любых двух ценных бумаг в портфеле.

На основе этих упрощений Шарп, для любых ценных бумаг в портфеле, получает следующие выражения:

Еi = αi + βi Em,

σi² = βi² · σm² + σεi²,

σij = βi² βj² · σm²,

где Еi - ожидаемая среднеарифметическая доходность ценных бумаг i;

Еm - ожидаемая среднеарифметическая доходность рыночного портфеля;

σi² - дисперсия i-той ценной бумаги;

σm² - дисперсия рыночного портфеля;

σεi² - дисперсия случайной ошибки;

σij (covij) - ковариация между величинами доходности ценной бумаги i и ценной бумаги j;

βi и βj – чувствительность доходности i-той и j-той ценной бумаги к изменению рыночной доходности.

Таким образом, для построения границы эффективных портфелей есть все необходимые элементы: Еi; σi²; σij.

Ожидаемая доходность портфеля, состоящего из n ценных бумаг, вычисляется по формуле:

n

Еп= ∑ Хi Еi

i=1

Дисперсия портфеля в модели Шарпапредставляется в виде:

n+1

σn² = ∑ Хi² σεi²,

i=1

n

σεi² = ∑ (Rit - (αi + βi Rmt)) ² / (n-2)

t=1

Вопросы для самопроверки

1. Что такое портфель ценных бумаг?

2. Дайте характеристику различным типам инвестиционных портфелей.

3. Дайте характеристику агрессивному, консервативному и умеренно-агрессивному инвестору.

4. Что понимается под активным и пассивным управлением инвестиционным портфелем?

5. Что такое диверсификация инвестиционного портфеля?

6. Как определить доходность и риск инвестиционного портфеля?

7. Что означает положительная и отрицательная ковариация между величинами доходности по ценным бумагам?

8. Что характеризует коэффициент корреляции?

9. Что такое эффективная граница Марковица?

10. Как рассчитывается доходность ценных бумаг компании и β – коэффициент в модели Шарпа?