Градиент, дивергенция, ротор в криволинейных координатах

Пусть - биективное и непрерывно дифференцируемое отображение области на область В координатном виде:

координаты называются криволинейными координатами точек области Поверхности являются координатными. Координатные линии имеют вид: (линия изменения ), (линия изменения ), (линия изменения ).

Примеры: 1) цилиндрические координаты

Поверхности круговые цилиндры с осью , поверхности - полуплоскости, ограниченные осью , плоскости - горизонтальные плоскости. Координатные линии: изменения - горизонтальные лучи, выходящие из точек оси изменения - горизонтальные окружности с центром на оси изменения - вертикальные прямые.

2) сферические координаты

Координатные поверхности: - сферы с центром в точке , - полуплоскости, ограниченные осью - круговые полуконусы с вершиной в начале координат и с осью Координатные линии: изменения - лучи, выходящие изначала координат, изменения - полуокружности с центром в начале координат и с концами на оси изменения - горизонтальные окружности с центром на оси

Обозначим: - единичные векторы касательных к координатным линиям . Будем считать их ортогональными. Векторы направлены по касательной к координатным линиям: где - коэффициенты Ламэ.

Примеры. 1) цилиндрические координаты:

2) сферические координаты:

Возьмём координатную поверхность нормаль к ней направлена по , а в силу ортогональности координат, направлена по касательной к линии т.е. по , следовательно: Покажем, что Действительно,

По линейной независимости коэффициенты левой и правой частей полученного равенства при одинаковых дифференциалах совпадают, но в левой части отличен от нуля и равен 1 только коэффициент при следовательно, а остальные коэффициенты правой части есть нули. Тогда

Таким образом,

Рассмотрим элементарную ячейку, образованную тремя парами смежных координатных поверхностей, и обозначим длины рёбер ячейки. Имеем: Действительно, с точностью до бесконечно малых порядка выше первого

Градиент

По определению градиента

Используя (1), получим: (2)

Примеры. 1) цилиндрические координаты:

2) сферические координаты:

2. Дивергенция

Рассмотрим параллелепипед – элементарную ячейку - и подсчитаем поток поля через грань На ней - нормаль направлена вне тела. Тогда причём здесь определяются на поверхности при . Аналогично поток поля через грань приближённо равен но здесь подсчитываются при . Используя формулу Тейлора, получим: , где Тогда сумма потоков через противоположные грани параллелепипеда равна: Определяя потоки через две другие пары противоположных граней и складывая их, найдём: где - с точностью до бесконечно малых более высокого порядка. Итак,

Примеры.

1) цилиндрические координаты:

2) сферические координаты:

Ротор

Найдём проекции ротора на координатные линии: где - проекция поля на направление касательной к кривой интегрирования. На изменяется от до и На изменяется от до , при этом имеет значение Формула Тейлора приводит к следующему результату: Тогда, используя теорему о среднем, будем иметь: Аналогично, находим: