Эффективность принимаемых решений на защиту от случайных негативных событий

Во многих приложениях важной является задача оценки эффективности принимаемых решений на реализацию мер защиты от различных опасностей по данным прогноза времени наступления негативных событий. Методы про­гнозирования возникновения негативных событий по прогнозируемым пара­метрам делятся на методы прогноза места х_нс, силы и_нс, времени наступления t _HC и частоты а_нс. Точность решения этих задач зависит от вида негативного со­бытия, наличия соответствующих систем мониторинга и прогнозирования, точности применяемых методик и технических средств контроля. Чем полнее и точнее прогноз, тем эффективнее меры защиты (больше предотвращенный ущерб в расчете на единицу затраченных средств). Но повышение точности прогноза также требует затрат.

Хотя экономически более выгодно предвидеть время наступления негатив­ных событий и целенаправленно готовиться к ним, однако те мероприятия, которые не могут быть проведены за время упреждения, определенное с доста­точной точностью, обосновываются и осуществляются на основе оценок час­тоты (повторяемости) негативных событий.

Исследуем влияние неопределенностей прогноза негативных событий на эффективность принимаемых решений на реализацию мер защиты [71].

Формализация задачи. Время наступления негативных событий и его про­гноз (интервал упреждения t _ynp) имеют разброс Δ_t, обусловленный как природ­ной неопределенностью, так и погрешностями используемых методик прогно­за. Поэтому время до наступления негативного события можно представить как случайную величину

T не = tупр + Δ t

с функцией распределения F_HC(t) -P(T _HC < t). Фактическое время наступления негативного события t _HC является реализацией этой случайной величины (рис. 3.11).

Глава 3

/нс(t) h

t ₀

tпр

t 3 \ / t нс

t К

t

II

I

III

Рис. 3.11. Рассматриваемые случайные величины и их реализации

Коэффициент вариации v =o_t / t_ynp времени до наступления негативного события для нормального распределения не превышает 0,33. Однако если прогнозирование времени наступления негативного события невозможно, то меры защиты планируются на основе оценок его частоты. Плотность распре­деления вероятностей случайной величины Т_нс времени до наступления нега­тивного события при пуассоновском потоке событий имеет вид

/«_с (t) =^«_с exp(-Я,_/и. t), t>0,

где Х_нс — интенсивность негативных событий, 1/лет. Коэффициент вариации времени наступления составляет в этом случае уже 1.

Оценки интенсивности Х_нс имеют статистическую погрешность А_х, завися­щую от интервала наблюдения А Г [59, 60, 68]. При наличии существенных по­грешностей следует рассматривать наблюдаемую величину интенсивности \_нс =Х_НС + А_х. Поэтому неопределенность времени наступления негативного события имеет две составляющие: природную, зависящую от интенсивности Х_нс (чем интенсивность меньше, тем больше неопределенность), и статистиче­скую, обусловленную погрешностью ее оценки А_х.

Меры защиты реализуются в течение времени t₃ (рис. 3.11). Их эффектив­ность Э₃, понимаемая в узком смысле как способность выполнять предназна­ченные им функции, с течением времени меняется. Например, эффектив­ность сооружений инженерной защиты в процессе строительства возрастает, а затем, по мере ухудшения их технического состояния, снижается. Вид этой зависимости может быть различным. Аппроксимируем его ступенчатым зако­ном (эффективность или есть в полном объеме, или ее нет совсем)

3(t)

Г1, t₃ < t < t_K

[0, t< t₃, t> t_K

(3.4)

где t_K = t₃ + At₃, At₃ — продолжительность интервала времени, в течение кото­рого меры защиты сохраняют свою эффективность (определяется из условия 9 (At₃) = 0,5). Полагаем, что до завершения строительства Э = 0.

В течение интервала времени [t₀, t_K] негативное событие реализуется с ве­роятностью q _HC = P (Т_НС < t_K). Для заданного распределения F_HC (t) эта вероят­ность возрастает с увеличением t_K. Для негативных событий, время до наступ­ления которых можно спрогнозировать, с увеличением t точность прогноза времени их наступления снижается, т. е. погрешность A_t возрастает. При фик­сированном интервале времени [t₀, t_K] это приводит к снижению q_HC. Чем боль­ше погрешность прогноза и уже интервал [t₀, t_K], тем большая доля негативных

Структура и факторы риска

событий выходит за его пределы, приводя к ошибочным решениям. И наобо­рот, чем дольше сохраняется эффективность мер защиты, тем большая доля q _HC негативных событий происходит в интервале [t₀, t_K]. Для времени до нега­тивного события, распределенного по нормальному закону Т_нс е N(t_ynp, a_t),

i tк tynp
qhc =^ф------------------------

где Ф(-) — функция Лапласа.

Для пуссоновского потока вероятность хотя бы одного негативного собы­тия на интервале [t₀ = 0, t_K] вычисляется по формуле

q нс = J/«_c (t) ^ = 1-exp(-A,_wc t),

Ошибки первого и второго рода. Очевидно, что меры защиты должны быть осуществлены до наступления прогнозируемого события (t₃ < Т_нс). С другой стороны, после реализации мер защиты время наступления негативного события не должно превышать интервала сохранения их эффективности (Т_нс < t ₃ + A t ₃). Введем случайную величину Т = Т_нс – t ₃ с реализацией x = t _HC - t ₃. С учетом аппроксимации (3.4) сформулированные условия запи­шутся в виде

0 < Т < A t ₃. (3.5)

Невыполнение условий (3.5), вследствие неточности в предсказании вре­мени наступления негативного события, приводит к снижению эффективно­сти принимаемых решений на осуществление мер защиты — появлению оши­бок первого и второго рода.

Пусть при принятии решения на защиту территории, организации от опас­ностей на основе прогноза негативных событий выбраны меры защиты со сро­ком реализации t₃. Тогда область возможных времен наступления негативных событий разделится на три зоны (рис. 3.11).

В III зоне (t ₃< Т_нс < t_K) меры защиты реализованы до наступления ожидае­мого события, которое происходит на интервале их действия. Экономический результат от принятых мер составит

V= AW– С, (3.6)

где A W = W - W — предотвращенный в результате принятых мер ущерб, W— ущерб от чрезвычайных ситуаций, инициированных негативными событиями, без принятия мер защиты, W — ущерб от чрезвычайных ситуаций в случае принятия мер защиты, С — затраты на реализацию мер защиты.

При V> 0 меры защиты приняты обоснованно: выгоды A Wот их реализа­ции превышают затраты С (критерий «выгоды—затраты»).

В I зоне (Т_нс > t_K) защита осуществлена, а ожидаемое негативное событие с вероятностью 1 – q _HC произошло позднее времени эффективного действия мер защиты, т. е. за пределами интервала [t₀, t_K]. В этом случае имеет место ошибка 1-го рода в реализации мер защиты от негативных событий («прежде­временное срабатывание»), характеризуемая вероятностью

Глава 3

со

со

а = P (T_нс > t_з + At_з) = I f_нс(t)dt или а = P(T > At_з) = I f_нс(x)dx.

t_к ^At_з

Отсюда для простейшего потока негативных событий получим

а = exp(-t_к / t_cp),

а для распределения времени до наступления негативного события по нор­мальному закону —

а

1-q =^ф

упp к

Анализ показывает, что с увеличением времени до негативного события (среднего времени между событиями) при фиксированных t_з и At_з риск а уве­личивается. И наоборот, при фиксированных t (t) с увеличением t_з и At_з риск а снижается (рис. 3.12).

1

А, 6

Ðèñ. 3.12. Графики зависимости а и р от t_з для t_óïð (t_ñð) = 1, a _t = 0,2, At_з = 0,5:(штриховая линия - пуассоновский поток, непрерывная линия - нормальный закон)

Ошибочные решения из-за неточного прогноза приводят к потерям W_a. Полагая, что затраты на защиту производятся сразу в момент времени t₀, эти потери количественно оцениваются снижением эффективности защитных ме­роприятий — уменьшением предотвращенного ущерба от чрезвычайных ситу­аций A W. Величина потерь (упущенная выгода) является монотонно возраста­ющей функцией параметра т (рис. 3.13):

W _а(т) = А W (0)-А W (т),

где AW(x) = W-W(x). При т= 0 W _a = 0; при т ->• оо W '^- W, A W ->• 0, a W (т) ->• AW (0 ).

Структура и факторы риска

Щ ________ W

Потери

WdT)

AW(0)

\

-t₃ 0 At₃ r

Ðèñ. 3.13. Потери от ошибочных решений: фактические (пунктир); для принятой аппроксимации эффективности мер защиты (сплошная линия)

Во II зоне (T_нс < t_з) защита до наступления негативного события не осуще­ствлена или осуществлена не в полном объеме. В этом случае имеет место ошибка 2-го рода («пропуск сигнала»), характеризуемая вероятностью непри­нятия или несвоевременного принятия мер защиты

(3 = P(T_нс < t_з) = f_нс(t)dt. Отсюда для пуассоновского потока негативных событий получим

(3 =1- ex p(-l_нсt_з),

а для нормального распределения времени до негативного события —

\ ç ~ _упp р = ф<-

Графики зависимости р от t_з приведены на рис. 3.12. Их анализ показывает, что при фиксированных t (t) с увеличением t_з и At_з ошибки 2-го рода уме­ньшаются, приводя в итоге (для нормального закона) к образованию области, где ошибки отсутствуют.

Ошибочное решение на реализацию мер защиты приводит к потерям W°, оцениваемым ущербом Wот произошедшей в результате негативного события чрезвычайной ситуации (постепенно снижается по мере осуществления мер защиты) (рис. 3.13). Величина ущерба в общем случае является монотонно возрастающей функцией параметра т' = -т = t_з -t_нс. Для принятой аппрокси­мации эффективности мер защиты (3.4) при т' = 0 W o = 0; при т' = t_з W o = W.

Очевидно, что при известном прогнозе времени наступления негативного события для исключения ошибок 2-го рода срок реализации мер защиты целе­сообразно выбирать из условия t_з < t_упp -A_t. Однако при значительных по­грешностях A _t и малых длительностях At_з это приводит к возрастанию а. Поэ­тому для заданного распределения F_нс (t) срок реализации мер защиты t_з или выбор мер защиты с таким сроком реализации должен осуществляться с помо­щью критериев принятия решений [39], учитывающих потери от ошибочных решений.

Глава 3

Воспользуемся критерием минимума средних потерь от ошибочных реше­ний

minW(t₃) = α W _α +β W β.

Установлено, что для пуассоновского потока негативных событий для всех Δ t ₃ /t ₃ > 0 и ΔW (0 ) / W < 1 целевая функция W(t₃) является монотонно возра­стающей. Чем больше Δ t ₃ / t ₃ и меньше ΔW(0) / W, тем скорость возрастания выше. Таким образом, при отсутствии возможности прогноза времени наступ­ления негативного события целесообразно принять t ₃ = 0 (меры защиты, удов­летворяющие критерию (3.6), целесообразно реализовывать незамедлительно как только для этого появляются экономические возможности).

Для унимодальных распределений времени до ожидаемого негативного со­бытия существует минимум целевой функции. Оптимальное значение време­ни реализации мер защиты определяется из условия

t*₃ =arg min W (t ₃).

При увеличении Δ t ₃ / σ _t минимальные средние потери от ошибочных ре­шений уменьшаются и для нормального закона при Δ t ₃ /σ_t > 0,45 W* =0.

Дальнейшее увеличение Δ t ₃ / σ _t ведет к возрастанию области значений t*₃, в которой потери от ошибочных решений отсутствуют. Таким образом, для заданного закона распределения F _HC (t) можно определить не только оптималь­ное время реализации мер защиты, но и рациональное значение срока их эффективного действия. Другой важный вывод состоит в том, что повышение точности прогноза позволяет снизить требования к продолжительности эффективного действия мер защиты. Задача совместной оптимизации потерь от ошибочных решений и затрат на обеспечение эффективного действия мер защиты является предметом специального рассмотрения.

Пример. Пусть Т_нс ∈ N(t_ynp,σ_t ² ), t _{yn p} = 1, σ _t = 0,2, Δ t ₃ = 0,5, ΔW(0) / W = 0,5. Подставляя в выражение для рисков F_HC(t) и рассчитав зависимость W(t₃),

из графика этой зависимости определим t*₃ = 0,69.

Экономический результат от принятых мер защиты (3.6) с учетом неопре­деленности прогноза негативных событий и обусловленных ею средних потерь от ошибочных решений вычисляется по формуле

V = Δ W -С - W.

При V < 0 меры защиты реализовывать нецелесообразно.

Изложенный методический аппарат позволяет более обоснованно принять решение на осуществление мер по управлению рисками и выбрать стратегию их реализации.