Способы прямой и обратной угловых засечек

Способ угловой засечки применяют для разбивки недоступных точек, находящихся на значительном расстоянии от исходных пу­нктов. Различают прямую и обратную угловые засечки.

В способепрямой угловой засечкиположение на местности про­ектной точки С (рис. 14) находят отложением на исходных пунктах А т В проектных углов β ₁, и β ₂. Базисом засечки служит или специально измеренная сторона, или сторона разбивочной сети. Проектные углы β ₁, и β ₂ вычисляют как разность дирекционных углов сторон. Дирекционные углы находят из решения обратной геодезической задачи по проектным координатам определяемой точки и известным координатам исходных пунктов.

На точность разбивки способом прямой угловой засечки оказы­вают влияние ошибки собственно прямой засечки, исходных дан­ных, центрирования теодолита и визирных целей, фиксации раз­бивочной точки, т. е.

. (28)

Средняя квадратическая ошибка собственно засечки равна

(29)

или

, (30)

где m_β - средняя квадратическая ошибка отложения углов β ₁, и β ₂.

Иногда возникает необходимость определить ошибку положения точки по осям координат. В этом случае ошибку засечки вычисляют по фор­мулам

; (31)

. (32)

Рис. 14. Схема разбивки спо­собами прямой угловой и ли­нейной засечек

Для приближенных расчетов принимают S ₁ = S ₂ = S. Тогда формула (30) будет иметь вид

. (33)

При заданной ошибке т_β величина ошибки засечки будет зава-сеть от угла γ и расстояния S до определяемой точки. С учетом влияния угла γ и расстояния S ошибка засечки будет минимальной при γ = 109°28'.

Ошибка исходных данных является следствием ошибок в поло­жении пунктов А и В. Если принять, что т_А = т_B = т_АB,то

. (34)

Для приближенных расчетов, приняв S ₁ = S ₂ = S и γ = 90°,можно записать

. (35)

По аналогии с формулами (34) и (35) совместное влияние ошибок центрирования теодолита и визирной цели выразится формулами

; (36)

, (37)

где l - величина линейного элемента центрирования.

При разбивочных работах центрирование теодолита и визирных целей с помощью оптических отвесов, фиксация выносимой точки могут быть выполнены сравнительно точно. Поэтому основными ошибками, определяющими точность способа прямой угловой за­сечки, являются ошибки собственно засечки и исходных данных. Суммарная величина этих ошибок составит

(38)

или

. (39)

При S ₁ = S ₂ = S и γ = 90°ошибка в положении выносимой в натуру точки выразится приближенной формулой

(40)

Часто при проектировании разбивочных работ решают вопрос о необходимой точности отложения разбивочных элементов, если задана точность определения проектного положения выносимой в натуру точки. Для прямой угловой засечки определяют ошибку отложения проектных углов.

Так, например, для b = 500 м, m_C = 20 мм, m_AB = 8мм, используя формулу (40), будем иметь

Отложить с такой точностью угол довольно сложно. Требуемая точность разбивки в этом случае может быть достигнута следу­ющим образом. Отложив с возможной точностью углы β ₁, и β ₂, определяют в натуре положение точки С. Затем на опорных пунктах соответствующим числом приемов измеряют точное значение от­ложенных углов. Для приведенного примера при использовании теодолита 3Т2КП надо выполнить не менее четырех приемов. Измеря­ют также угол γ на точке С. Распределив невязку в треугольнике поровну на все три угла, определяют координаты точки С. Срав­нивая их с проектными значениями, находят поправки (редукции), по которым в натуре смещают (редуцируют) приближенно вынесен­ную точку С. Такой способ называют способом замкнутого тре­угольника.

На принципе редуцирования основано и применение для разбив­ки способа обратной угловой засечки.На местности находят прибли­женно положение О' разбиваемой проектной точки О (рис. 15). В этой точке устанавливают теодолит и с требуемой точностью измеряют углы не менее чем на три исходных пункта с известными координатами. По формулам обратной засечки вычисляют коор­динаты приближенно определенной точки и сравнивают их с проектными значениями. По разности координат вычисляют величины Редукции (угловой и линейный элементы) и смещают точку в проектное положение. Для контроля на этой точке измеряют утлы, вновь вычисляют ее координаты и сравнивают их с проектными. В случае недопустимых расхождений все действия повторяют.

Для вычисления координат точки О' можно использовать формулы Деламбера и Гаусса. Применительно к (рис. 9), они будут иметь вид:

; (41)

; (42)

;

; (43)

; .

На точность разбивки способом обратной угловой засечки ока­зывают влияние ошибки собственно засечки, исходных данных, центрирования теодолита и визирных целей, фиксации разбивочной точки и редуцирования. Очевидно, что при сравнительно больших расстояниях от определяемого до опорных пунктов влияние первых двух источников будет наиболее существенным; остальными ошиб­ками можно пренебречь.

Ошибка собственно обратной засечки может быть подсчитана по приближенной формуле

, (44)

где S - расстояние от определяемо­го до соответствующих опорных пун­ктов; b - расстояние между соответ­ствующими опорными пунктами; ω_BAC - угол между исходными сто­ронами.

Если для приближенных расчетов принять, S_A = S_B = S_C = S_ср; b_AB = b_AC = b_ср, тоформула (33) примет вид

. (45)

Рис. 15. Схема способа обрат­ной угловой засечки

Ошибки исходных данных учиты­вают по формуле

, (46)

где т_А = т_B = т_C = т_АВс - ошибка в положении исходного пункта; .

Для приближенных расчетов

. (47)

В качестве примера соответственно по формулам (45) и (46) рассчитаем точность определения положения точки О' при S_ср ≈ 1350 м, b_ср ≈ 2200 м, ω_BAC ≈80⁰, m_β = 2", m_ABC = 5мм.

Получим m_сз = 11,5 мм, m_и = 6,2 мм, а общая ошибка

мм.