Означення 1. Мінором елемента (позначається ) визначника 3-го порядку називається визначник 2-го порядку, отриманий з даного визначника , в якому викреслено і-тий рядок і j-ий стовпець, в яких містився елемент .
Наприклад, викреслюючи у визначнику
3-ій рядок 2-ий стовпець знаходимо мінор
який відповідає елементу .
Аналогічно можна виписати мінори для решти елементів. Всього для елементів визначника 3-го порядку можна виписати 9 мінорів.
Означення 2. Алгебраїчним доповненням елемента (позначається ) називається відповідний мінор , взятий із знаком , тобто
Знаки перед мінорами залежать від місця елемента у визначнику і розподіляються за схемою:
Приклад 1. Знайти алгебраїчні доповнення елементів визначника.
.
Розв’язання. Відповідно до означення алгебраїчних доповнень, ураховуючи схему розподілу знаків для відповідних мінорів, маємо
Поняття алгебраїчного доповнення дає можливість ще одного способу обчислення визначника, який стверджується наступною теоремою.
|
|
Теорема. (Про розклад визначника). Визначник дорівнює сумі добутків елементів рядка (стовпця) на їх алгебраїчні доповнення.
Наприклад,
Рівність (1) перевіряється безпосередньо
Як бачимо останній вираз збігається з виразом (1) з 1.3.
Рівність типу (1) називають розкладом визначника за елементами першого стовпця.
Вправа. Записати ще 5 розкладів типу (1) для інших рядків і стовпців.
Приклад 2. Обчислити визначник прикладу 1, розкладаючи його за елементами рядків і стовпців.
Розв’язання. Алгебраїчні доповнення вже знайдені у попередньому прикладі, тоді розклади за елементами рядків відповідно запишуться:
Аналогічні розклади запишемо за рядками:
Приклад 3. Обчислити визначник, розклавши його за елементами ІІІ-го рядка
Розв’язання.
.
Приклади. Користуючись теоремою про розклад обчислити визначники: