Перетворення рівнянь багатополюсників

Крім полюсних струмів і напруг сторін багатополюсника широко використовують його контурні струми та вузлові напруги, які показані на схемі рис. 3.3. Тут за базовий прийнято вузол . Очевидно, що кількість лінійно незалежних контурних струмів, як і незалежних вузлових напруг багатополюсника, становить .

Між напругами сторін і вузловими напругами схеми рис. 3.3 можна записати такі зв'язки:

або

(3.15)

де матриця перетворення

(3.16)

Між полюсниками та контурними струмами, як видно з рис. 3.3, наявні такі взаємозалежності:

Рис. 3.3

або

(3.17)

Співвідношення (3.15) та (3.17) дають змогу переходити від вузлових до контурних величин як струмів, так і напруг, і навпаки.

З (3.15) знаходимо

(3.18)

де

(3.19)

З (3.17) визначаємо

(3.20)

На основі одержаних співвідношень між напругами та струмами багатополюсника здійснюється перетворення його рівнянь із однієї системи координат в іншу.

Наприклад, на основі (3.15) і (3.6) дістаємо рівняння у вузлових напругах з матрицею вузлових імпедансів

(3.21)

З рівнянь (3.17) і (3.6) записуємо рівняння в контурних струмах

(3.22)

Дуже важливою є форма рівняння багатополюсника у вузлових напругах, його можна одержати з (3.12) підставленням (3.15), а cаме:

чи

(3.23)

Порівнюючи (3.21) з (3.23), бачимо, що

У теорії електроенергетичних мереж дуже часто у рівнянні (3.23) вектор-стовпець подають з протилежним знаком і записують його у формі рівняння вузлових напруг:

(3.24)

Очевидно, в цьому випадку вираз у (3.11) має вигляд

(3.25)

Формально для багатополюсника з 5 полюсами кількість різних форм його рівнянь визначається числом можливих комбінацій з незалежних струмів і напруг по , тобто

Наприклад, при ця кількість становить 924. Правда, не всі вони існують, оскільки при деяких перетвореннях виникають особливі матриці.

Очевидно, ту чи іншу форму рівняння багатополюсника можна одержати безпосередньо зі схеми подібно, як це зроблено вище під час виведення на основі методів незалежних координат. У випадку аналізу ЕЕС переважно користуються методом вузлових напруг.

Приклад 3.1. Сформувати рівняння багатополюсника, схема якого показана на рис. 3.4, а, в контурних і вузлових координатах. Фізичні величини багатополюсника

Оскільки схема містить взаємоіндуктивно зв'язані вітки, для одержання різних форм його рівнянь доцільно виходити з рівнянь методу контурних струмів. Для запису таких рівнянь джерела струму еквівалентуємо відповідними ЕРС віток. У цьому випадку досить прийняти, що струм кожного джерела струму замикається через будь-які вітки кола, що утворюють з джерелом струму замкнений контур. Спади напруги на елементах віток від струму ДС відповідають еквівалентним електрорушійним силам у цих вітках. Схема багатополюсника після еквівалентування джерел струму показана на рис. 3.4, б, на рис. 3.4, в — відповідний граф. Ребра графа, що відповідають незалежним напругам сторін, не пойменовані — вони відповідають віткам з напругами і їхні імпеданси дорівнюють нулеві. Граф багатополюсника має 12 віток (ребер) і 8 вузлів (вершин). Отже, кількість всіх його незалежних контурів , у тому числі три зовнішні та два внутрішні .